Espai de Baire

En topología i branques relacionades de les matemàtiques, un espai de Baire és un espai topològic que, parlant intuitivamente és molt gran i té suficients punts per a un cert processe llímit. Va ser nomenat aixina en honor a René-Louis Baire qui va introduir el concepte.

En un espai topològic es pot pensar en conjunts tancats en interior buit com a punts en l'espai. Ignorant els espais en punts aïllats, que són el seu propi interior, un espai de Baire és gran en el sentit que no pot ser construït com una unió numerable d'estos punts. Un eixemple concret és un pla bidimensional en una colecció enumerable de llínees. Sense importar que llínees triem, no podem cobrir l'espai completament en les llínees.

El ser un espai de Baire és una propietat topològica i com tal es preserva per homeomorfismes.

Definició

Un espai topològic és cridat un espai de Baire si l'unió numerable de qualsevol colecció de conjunts tancats en interior buit té un interior buit.

Les següents són caracterisació alternes:

• Tota intersecció de conjunts oberts densos és densa.
• L'interior de tota unió numerable de conjunts disseminats és buit.
• Sempre que l'unió d'un número enumerable de conjunts tancats de X té un punt interior, un dels subconjunts tancats deu tindre un punt interior.

Definició històrica

En la seua definició original, Baire va definir una noció de categoria (sense relació en la teoria de les categories) com seguix:

Un subconjunt d'un espai topològic X és cridat

• dens en ninguna parte en X si l'interior de la seua clausura és buit
• de primera categoria o deficient en X si és l'unió numerable de subconjunts disseminats.
• de segona categoria en X quan no és de primera categoria

La definició de l'espai de Baire pot establir-se ara com seguix:

Un espai topològic X és cridat un espai de Baire si tot conjunt obert no buit és de segona categoria en X.

Eixemples

• Dau R en la topología usual, els racionals són de primera categoria i els irracionals són de segona categoria
• Els reals en la mètrica usual són un espai de Baire (Vore la teorema de categories de Baire més alvance)
• Tot espai homeomorfo a un subconjunt obert d'un espai pseudométrico és un espai de Baire (açò inclou els irracionals en la seua topología estàndar aixina com el conjunt de Cantor).
• Els espais de Hausdorff localment compactes són espais de Baire (açò inclou totes les varietatés).
• Els espais topológicamente complets són espais de Baire
• Tot espai topològic homeomórfico a un espai de Baire és un espai de Baire
• El conjunt de Cantor és un espai de Baire, pero pertany a la primera categoria en l'interval [0,1] en la topología usual
• El següent és un eixemple per a un conjunt de segona categoria en R en mida de Lebesgue 0

$\bigcap _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(r_n-\frac{1}{2^{n+m}},r_n+\frac{1}{2^{n+m}})$

a on ${\left\{r_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ és una seqüència que enumera els número racional.

Note's que l'espai dels racionals en la topología usual heretada dels reals no és un espai de Baire, ya que és l'unió d'un número enumerable de conjunts tancats sense interior, els conjunts unitaris.

Referències

• Munkres, James, Topology, 2nd edition, Prentice Hall, 2000.
• Baire, René-Louis (1899), Sur els fonctions de variables réelles, Annali vaig donar Mat. Ser. 3 3, 1—123.