Propietat topològica

En topología i àrees afins de les matemàtiques, una propietat topològica o invariante topològic és una propietat d'un espai topològic que és invariante baix homeomorfismes. És dir, una propietat d'espai és una propietat topològica, si cada volta que un espai X posseïx eixa propietat, tot espai homeomorfo a X la posseïx també. Informalment, una propietat topològica és una propietat de l'espai que pot ser expressada usant conjunts oberts.

Un problema comú en topología és decidir si dos espais topològics són homeomorfos o no. Per a demostrar que dos espais no són homeomorfos, és suficient en trobar una propietat topològica que no siga compartida per ells.

Propietats topològiques comunes

Funcions cardinals

• La cardinalidad |X| de l'espai X.
• La cardinalidad τ(X) de la topología de l'espai X.
• El pes w(X), la menor cardinalidad d'una base de la topología de l'espai X.
• La densitat d(X), la menor cardinalidad d'un subconjunt de X el tancament del qual és X.

Separació

Per a un tractament detallat, veja axioma de separació. Alguns d'estos térmens es definixen de manera diferent en la lliteratura matemàtica antiga; vore l'història dels axioma de separació.

• T₀ o Kolmogorov. Un espai és de Kolmogórov si per a cada parell de punts x i i en l'espai, hi ha o be un conjunt obert que conté a x pero no a i o be un conjunt obert que conté a i pero no a x.
• T₁ o Fréchet. Un espai és Fréchet si per a cada parell de punts x i i en l'espai, hi ha un conjunt obert que conté a x pero no a i (comparar en T₀, a on es podia triar quin dels dos punts estava en l'obert). Equivalentement, un espai és T₁ si els conjunts en un sol punt són tancats. T₁ implica T₀.
• Sobri. Un espai és sobri si tot conjunt tancat irreducible C té un únic punt genèric p. En atres paraules, per a tot tancat C que no s'expressa com a unió (disjunta o no) de dos tancats més menuts, existix un únic p tal que el tancament de {p} és igual a C.
• T₂ o Hausdorff. Un espai és Hausdorff si qualssevol dos punts distints posseïxen entorns disjuntos. T₂ implica T₁.
• T_{2$\frac{1}{2}$} o Urysohn. Un espai és Urysohn si cada dos punts distints posseïxen veïnats disjuntas tancades. T_{2$\frac{1}{2}$} implica T₂.
• Regular. Un espai és regular si per a qualsevol tancat C i punt p fòra de C existixen entorns disjuntos que els separen.
• T₃ o Hausdorff regular. Un espai és Hausdorff regular si és regular i T₀. (Un espai regular és Hausdorff si és T₀, per lo que la terminologia és consistent.)
• Completament regular. Un espai és completament normal si sempre que C és un conjunt tancat i p és un punt fòra de C, existix una funció que els separa.
• T₃, Tychonoff, Hausdorff completament regular o completament T₃. Un espai de Tychonoff és completament regular T₀ espai. (Un espai totalment regular és Hausdorff si és T₀, per lo que la terminologia és constant.) Espais de Tychonoff són sempre regular Hausdorff.
• Normal. Un espai és normal si qualssevol dos conjunts tancats disjuntos posseïxen veïnats separats. Els espais normals admeten particions de l'unitat.
• T₄ o Hausdorff normal. Un espai normal és Hausdorff si és T₁. Els espais de Hausdorff normals són sempre Tychonoff.
• Completament normal. Un espai és completament normal si qualssevol dos conjunts separats tenen veïnats separats.
• T₅ o Hausdorff completament normal. Un espai completament normal és Hausdorff si és T₁. Els espais de Hausdorff completament normals són sempre Hausdorff normal.

• Perfectament normal. Un espai és perfectament normal, si qualssevol dos conjunts tancats disjuntos són separats per una funció. Un espai perfectament normal també deu ser completament normal.
• Hausdorff perfectament normal, o perfectament T₄. Un espai és Hausdorff perfectament normal, si és perfectament normal i T₁. Un espai de Hausdorff perfectament normal també deu ser completament normal Hausdorff.
• Espai discret. Un espai és discret si tots els seus punts són aïllats, és dir, si qualsevol subconjunt és obert.

Condicions de numerabilidad

• Separables. Un espai és separable si té un subconjunt dens numerable.
• Lindelöf. Un espai és Lindelöf si tot recobriment per oberts admet un subrecubrimiento numerable.
• Primer Axioma de Numerabilidad, 1AN. Un espai és 1AN si cada punt té una base d'entorns numerable.
• Segon Axioma de Numerabilidad, 2AN. Un espai és 2AN si té una base numerable per a la seua topología. Els espais 2AN són sempre separables, 1AN i Lindelöf.

Conexidad

• Conexo. Un espai és conexo (o està conectat) si no es pot expressar com unió disjunta de dos oberts no buits. Equivalentement, un espai és conexo si els únics clopen són el conjunt buit i el propi espai.
• Conexo localment. Un espai és localment conexo si cada punt té una base d'entorns conexos.
• Totalment inconexo. Un espai està totalment desconectat si no té cap subconjunt conexo en més d'un punt.
• Conexo per camins. Un espai X és arc conexo si per a cada dos punts x, i en X, hi ha un camí p de x a i, és dir, una funció contínua p: [0,1] → X en p(0) = x i p(1) = i. Tot espai arc conexo és conexo.
• Localment conexo per camins. Un espai és localment arc conexo si cada punt té una base d'entorns arc conexos. Un espai localment arc conexo és conexo si i solament si és arc conexo.
• Simplement conexo. Un espai X és simplement conexo si és conexo per camins i tota funció contínua f: S¹ → X és homotópica a una aplicació constant.
• Localment simplement conexo. Un espai X és localment simplement conexo si cada punt x en X té una base d'entorns O simplement conexos.
• Semilocalmente simplement conexo. Un espai X és semilocalmente simplement conexo si cada punt té una base d'entorns O tal que tot llaç en O és homotópico en X a un llaç constant. Esta condició, estrictament més dèbil que la conexidad simple local, és necessària per a l'existència de recubridor universal.
• Contràctil. Un espai X és contràctil si la funció identitat en X és homotópica a una constant. En particular, X és simplement conexo.
• Hiperconectado. Un espai està hiperconectado si qualssevol dos conjunts oberts no buits són no disjuntos. Tot espai hiperconectado és conexo.
• Ultraconectado. Un espai està ultraconectado si qualssevol dos conjunts tancats no buits són no disjuntos. Tot espai ultraconectado és conexo per camins.
• Indiscret o trivial. Un espai és indiscret si els conjunts únics oberts són el buit i el propi espai. Eixe espai es diu que té la topología trivial.

Compacidad

• Compacte. Un espai és compacte si tot recobriment per oberts admet un subrecubrimiento finito. Alguns autors criden estos espais quasicompactos i reserven compacte per a espais d'Espai de Hausdorff a on cada recobriment per oberts té un subrecubrimiento finito. Els espais compactes són sempre Lindelöf i paracompactos, i per lo tant normals.
• Secuencialmente compacte. Un espai és secuencialmente compacte si tota successió té una parcial convergent.

• Compacte numerable. Un espai és numerable compacte si cada coberta contable oberta té un subrecubrimiento finito.
• Pseudocompacto. Un espai és pseudocompacto si tota funció real contínua definida en l'espai és acotada.
• Σ-compacte. Un espai és σ-compacte si és unió numerable de subconjunts compactes.
• Paracompacto. Un espai és paracompacto si tota coberta oberta té un refinament localment finito. Els espais de Hausdorff paracompactos són normals.
• Localment compacte. Un espai és localment compacte si cada punt té una base d'entorns compactes. També s'utilisen definicions llaugerament diferents. Els espais Hausdorff localment compactes són sempre Tychonoff.
• Ultraconexo compacte. En un espai compacte ultraconexo X cada coberta oberta deu contindre al propi X. Els espais compactes i ultraconexos no buits tenen un únic subconjunt obert maximal cridat monolit.

Metrizabilidad

• Metrisable. Un espai és metrisable si és homeomorfo a un espai mètric. Els espais metrisables sempre són Hausdorff i paracompactos (i per lo tant normals i Tychonoff) i 1AN.
• Polac. Un espai es diu polac si és metrisable en una mètrica separable i completa.
• Localment metrisable. Un espai localment és metrisable si cada punt té un veïnat metrisable.

Miscelànea

• Espai de Baire. Un espai X és un espai de Baire si no és escàs en sí mateixa. Equivalentement, X és un espai de Baire si l'intersecció de conjunts oberts densos numerable és molt densa.
• Homogéneu. Un espai X és homogéneu si per a cada x i i en X existix un homeomorfisme f: X & rarr; X tal que f(x) = i. Intuitivamente parlant, açò significa que l'espai es veu igual en cada punt. Tots els grups topològics són homogéneus.
• Finitamente generat o Alexandrov. Un espai X és Topología de Alexandrov si interseccions arbitràries de conjunts oberts en X són oberts, o equivalentemente si unions arbitràries de conjunts tancats estan tancats. Estos són precisament els membres finitamente generats de la categoria d'espais topològics i mapages continus.
• Zero-dimensional. Un espai és zero dimensional si té una base de conjunts clopen. Estos són precisament els espais en una chicoteta dimensió inductiva de 0.
• Casi discreta. Un espai és casi discret si cada conjunt obert està tancat (per lo tant clopen). Els espais casi discrets són precisament els espais zero-dimensional finitamente generats.
• Booleano. Un espai és booleano si és zero-dimensional, compacte i Hausdorff (equivalentement, totalment desconectat, compacte i Hausdorff). Estos són precisament els espais que són homeomórficos en l'espai de pedres del àlgebra de Boole.
• Torsió de Reidemeister
• $\kappa$-soluble. Un espai κ es diu que és soluble (respectivament: casi κ-soluble) si conté κ conjunts densos que estan per parells disjuntos (respectivament: casi separats sobre l'ideal de subconjunts densos no localisables). Si l'espai no és $\kappa$-soluble se li crida $\kappa$-irresoluble.
• Máximamente soluble. L'espai $X$ és soluble máximamente si és $\Delta (X)$-soluble, $\Delta (X)=\min \{|G|:G\ne \mathrm{\varnothing },G\text{ is open}\}$. Al número $\Delta (X)$ es diu caràcter de dispersió de $X$.
• Molt discret. El conjunt $D$ és molt discret del subconjunt de l'espai $X$ si els punts en $D$ poden separar-se per parells de veïnats disjuntas. L'espai $X$ es diu que és molt discret si cada punt no aïllat de $X$ és el punt d'acumulació d'un conjunt molt discret.

Vore també

• Característica de Euler
• Número de bobina
• Classe característica
• Números característics
• Classe de Chern
• Invariantes de nuc
• Número enllace
• Teorema del punt fix de Brouwer
• Topològic número quàntic
• Grup de homotopía i Cohomotopía
• Homologia i cohomología
• Quàntica invariante

Bibliografia

• Willard, Stephen (1970). General topology (en anglés), Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co, pp. 369. ISBN 9780486434797.