Punt d'acumulació

En topología, el concepte de punt d'acumulació (també denominat punt llímit o punt de aglomeració ) d'un conjunt en un espai captura la noció informal de punt que està arbitrariamente pròxim a atres punts del conjunt sense pertànyer necessàriament a ell. Informalmente parlant, un punt d'acumulació d'un conjunt S en un espai topològic X és un punt x en X que pot ser aproximat per punts de S distints a x tant com es desige.

Este concepte generalisa la noció de llímit i pot ser base de conceptes com conjunt tancat i pany topològic. Certament, un conjunt és tancat si i solament si conté tots els seus punts d'acumulació, i l'operació topològica de pany pot considerar-se com el resultat d'agregar a un conjunt tots els seus punts d'acumulació.

Definició

Siga $(X,\tau )$ un espai topològic i S un subconjunt de X. Direm que x és un punt d'acumulació de S si i solament si per a qualsevol subconjunt obert O de l'espai X que continga al punt x, $U_x$ es té que $S\cap (U_x-\{x\})\ne \mathrm{\varnothing }$.

Eixemples

• L'interval $(0,1)$ té com a punts d'acumulació a tots els punts de l'interval $[0,1]$.

• Un conjunt finit de número real en la topología estàndar no té punts d'acumulació.

• No obstant, qualsevol número és un punt d'acumulació d'un conjunt finit en la topología trivial dels número real.

• $\mathbb{N}$ no té punts d'acumulació quan es considera com a subconjunt de $ℝ$ en la topología estàndar. Per lo tant, cada punt en $N$ és aïllat.

Propietats

Caracterisació dels punts d'acumulació

x és un punt llímit de S si i solament si està en la pany de S {x}.

'Demostració: Partim del fet de que un punt està en el pany d'un conjunt si i solament si tot veïnat del punt té intersecció no buida en el conjunt. Ara, x és un punt llímit de S ssi tot veïnat de x conté un punt de S distint a x ssi tot veïnat de x conté un punt de S {x} sii x està en el pany de S {x}.

Si usem L(S) per a denotar el conjunt de punts llímit de S, llavors tenim la següent caracterisació del pany de S: El pany de S és igual a l'unió de S i L(S).

• • Demostració: Supongam que x està en el pany de S. Si x està en S, està demostrat. Si x no està en S, llavors tot veïnat de x conté un punt de S, i este punt no pot ser x. En atres paraules, x és un punt llímit de S i x està en L(S).

Recíprocament, si x està en S, llavors tot veïnat de x clarament té intersecció no buida en S, aixina que x està en el pany de S. Si x està en L(S), llavors tot veïnat de x conté un punt de S (distint de x), aixina que x està en el pany de S. Açò completa la prova.

Un corolari d'este resultat nos dona una caracterisació dels conjunts tancat: un conjunt S és tancat si i solament si este conté a tots els seus punts llímit.

Caracterisació de conjunts tancats

• Teorema: $E$ és un conjunt tancat si $E^{\prime }\subset E$ , a on $E^{\prime }$ és el conjunt de tots els punts d'acumulació de $E$.

Vàlit per a qualsevol espai (mètrics, topològics, etc).

Atres propietats

Cap punt aïllat és el punt de llímit d'un conjunt que no ho continga. Un espai X és discret si i solament si cap subconjunt de X té punts llímits. Si un espai X té la topología trivial i S és un subconjunt de X en més d'un element, llavors tots els elements de X són punts llímits de S.

Vore també

• Punt adherente
• Punt aïllat

Referències

Bibliografia

• W. Rudin. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill, 1976. ISBN 0-07-054235-X