Grup de homotopía

Primer grup de homotopía (grup fonamental) del bou.

En matemàtiques, els grups de homotopía s'utilisen en topología algebraica per a classificar els espais topològics. El primer i més senzill grup d'homotopía és el grup fonamental, que registra informació sobre les famílies de curves tancades en un espai. Intuitivament, els grups homotópicos registren informació sobre la forma bàsica, o forats, d'un espai topològic.

Dos aplicacions o mapes són homotópicos si un pot ser deformat de forma contínua fins a convertir-ho en l'atre. La homotopía aixina definida és una relació d'equivalència que permet definir classes d'equivalència cridades classes de homotopía. El conjunt de dites classes té estructura de grup baix l'operació de composició. El grup de homotopía d'orde n, ${\pi }_n(X)$, es definix com el conjunt dels mapes d'una esfera n-dimensional Sⁿ en un espai donat X, basats en un punt fix x₀. El grup fonamental és el primer grup de homotopía ${\pi }_1(X)$, és dir, la família de mapes d'una esfera S¹ (una circumferència) en un espai donat X, pasantes per un punt fix x₀ . La noció de homotopía de curves va ser presentada per Camille Jordan.

Els espais topològics en diferents grups de homotopía no són homeomorfos, pero ho contrarie no és cert. En les matemàtiques modernes, per a estudiar una categoria és comuna associar a cada objecte d'esta categoria un objecte simple que encara conserva una cantitat suficient d'informació sobre l'objecte en qüestió. Els grups de homotopía són una manera d'associar els grups a la categoria d'espais topològics.

Introducció

El fet de poder definir una estructura algebraica sobre els espais topològics permet aplicar conceptes de la teoria de grups a la topología. Per eixemple, si dos objectes topològics tenen diferents grups de homotopía, llavors no poden tindre la mateixa estructura topològica - un fet que resulta difícil de provar per mijos topològics. Per eixemple, el bou és diferent de l'esfera. El bou té un "forat", a diferència de l'esfera. No obstant, ya que la continuïtat (la noció bàsica d'topología) només s'ocupa de l'estructura local, pot resultar difícil definir formalment òbvies diferències globals. Els grups de homotopía, no obstant, contenen informació sobre l'estructura global.

Sobre l'eixemple: El primer grup de homotopía del bou T és

${\pi }_1(T)$ = ℤ²

degut a que la cobertura universal d'un bou és el pla complex ℂ, mapeando un bou T ≅ ℂ / ℤ². Ací el cocient està en la categoria dels espais topològics, en lloc de grups o anells. Per un atre costat, l'esfera S² satisfà

${\pi }_1(S^2)$ = 0

Per lo tant, el bou no és homeomorfo a l'esfera.

Definició

En la hiperesfera Sⁿ, s'elegix un punt fix a. Per a un atre espai X s'elegix un punt fix x₀. Es definix el grup de homotopía d'orde n ${\pi }_n(X)$ com el conjunt de les classes de homotopía de les aplicacions

f : Sⁿ → X, tal que f(a) = x₀

En particular, les classes d'equivalència són donades per homotopía que són constants en el punt fix a de l'esfera. De manera equivalent, podem definir ${\pi }_n(X)$ com el grup de classes homotópicas de mapes

g : [0,1]ⁿ → X

des del hipercubo unitari en X, que mapean el contorn del n-gaveta en x₀.

Composició de classes en el grup fonamental.

Per a n ≥ 1, les classes de homotopía formen un grup baixe l'operació de composició de classes. En el cas particular del primer grup (grup fonamental), el producte de dos llaços f i g es definix com:

$f\ast g=\{\begin{array}{cc}f(2t)& \text{si }t\in [0,1/2]\\ g(2t-1),& \text{si }t\in [1/2,1]\end{array}$

L'idea de la composició en el grup fonamental consistix en recórrer el primer llaç i despuix el segon de manera consecutiva, o de manera equivalent, colocar els seus dos dominis junts. El concepte de composició generalisat per al grup de homotopía d'orde n és similar, només que ara els dominis que s'unixen són hipercubos unitaris, solapados a lo llarc d'una cara. De manera explícita, la composició dels mapes f i g: [0,1]ⁿ → X es definix com:

$f\ast g(t_1,t_2,\mathrm{...},t_n)=\{\begin{array}{cc}f(2t_1,t_2,\mathrm{...},t_n)& \text{si }t\in [0,1/2]\\ g(2t_1-1,t_2,\mathrm{...},t_n),& \text{si }t\in [1/2,1]\end{array}$

La definició en térmens d'esferes, l'operació de dos mapes f i g: Sⁿ → X es definix com la composició de dos mapes Ψ i h, a on Ψ és el mapa de Sⁿ en el producte cunya de dos n-esferes que colapsen en l'equador, i h és el mapa del producte cunya de dos n-esferes en X tals que f està definit en la primera i g en la segona.

Els grups de homotopía d'orde superior a 1 són abelianos. Una demostració d'això és l'argument de Eckmann-Hilton, segons el qual en dos dimensions o més, dos homotopía poden "girar" una al voltant de l'atra.

Encara que puga resultar tentador, no és possible ometre els punts fixos en la definició dels grups de homotopía, ya que dit argument no funcionaria en espais que no són simplement conexos, ni tan sols quan són conexos per camins. El conjunt de classes de homotopía d'una n-esfera en un espai conexo no té estructura de grup. No obstant és essencialment el conjunt d'òrbites del grup fonamental en el grup de homotopía.

S'ha conseguit una manera de defugir estes dificultats per mig de la definició de grupoides de homotopía superiors d'espais filtrats i d'espais de n-gavetes. Estos estan relacionats en grups de homotopía relatius i grups de homotopía n-ádicos respectivament. El teorema de Seifert-van Kampen permet llavors derivar nova informació sobre els grups de homotopía i inclús dels tipos de homotopía.

Vore també

• Grup (matemàtiques).
• Homotopía.
• Topología algebraica.
• Teoria de nucs.
• Teoria geomètrica de grups.
• Propietat topològica.

Referències

Bibliografia

• (2002).«Algebraic topology».Cambridge University Press.
• Plantilla:Springer
• Ronald Brown, 'Groupoids and crossed objects in algebraic topology', Homology, homotopy and applications, 1 (1999) 1–78.
• G.J. Ellis and R. Mikhailov, 'A colimit of classifying spaces', ^{[enllaç trencat]}
• R. Brown, P.J. Higgins, R. Sivera, Nonabelian algebraic topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids, EMS Tracts in Mathematics Vol. 15, 703 pages. (August 2011).