Teorema de Seifert-van Kampen

En topología, la teorema de Seifert-van Kampen (a voltes cridada teorema de van Kampen), és un important resultat de topología algebraica que permet expressar el grup fonamental d'un espai topològic $X$ a partir dels grups fonamentals de dos oberts que recobrixen $X$. La força d'esta teorema residix que permet obtindre el grup fonamental d'un espai a partir d'espais més senzills.

Archiu:VanKampen-01.png

La teorema de Seifert-van Kampen té, no obstant, llimitacions: per sí mateixa no permet calcular el grup fonamental de la circumferència ${𝕊}^1$, que és un resultat bàsic de la topología algebraica.

Enunciat

Existixen distintes fomulaciones equivalents de la teorema de Seifert-van Kampen, per lo que es mostren ací dos, la primera inspirada en la formulació de la teorema en el llibre Algebraic Topology d'Allen Hatcher, i la segona inspirada en la formulació de la teorema en l'enciclopèdia nLab. La primera serà en general més útil puix permet escriure el grup fonamental de l'espai com un cocient de grups.

Teorema de Seifert-van Kampen per mig de grup cocient

Siga $X$ un espai topològic i siguen $A$ i $B$ dos oberts arcoconexos de $X$ tals que $A\cup B=X$ i $A\cap B$ és també arcoconexa. Sean $i_A:A\cap B\hookrightarrow A$ i $i_B:A\cap B\hookrightarrow B$ les inclusions canòniques de l'intersecció en els oberts, i siga el punt base $x_0\in A\cap B$. Es té llavors que ${\pi }_1(X,x_0){\cong }^{{\pi }_1(A,x_0)*{\pi }_1(B,x_0)}{/}_{⟨{\pi }_1(i_A)(\omega ){\pi }_1(i_B)(\omega {)}^{-1}|\omega \in {\pi }_1(A\cap B,x_0)⟩}$

En esta formulació de la teorema s'usa la notació ${\pi }_1(f)$ per a fer referència al morfismo de grups indicido per $f$. Ademés, per ser $A$, $B$ i $A\cap B$ arcoconexos, podríem ometre la notació de punt base, puix els grups fonamentals no dependran d'ell.

Teorema de Seifert-van Kampen per mig de teoria de categories

Siga $X$ un espai topològic recobert per dos oberts $A$ i $B$ tals que $A\cap B$ és arcoconexa. Llavors, per a tot punt base $x_0\in A\cap B$, el diagrama

$\begin{array}{ccc}{\pi }_1(A\cap B,x_0)& ⟶& {\pi }_1(A,x_0)\\ \downarrow & & \downarrow \\ {\pi }_1(B,x_0)& ⟶& {\pi }_1(X,x_0)\end{array}$

és un pushout quadrat en la categoria $𝐆𝐫𝐩$.

Generalisacions

Existix una generalisació, descrita per Allen Hatcher que usa una família d'oberts, en lloc de només dos. Degut a que els oberts considerats en tot moment són arcoconexos per hipòtesis, s'ometrà el punt base de la notació dels grups fonamentals.

Siga $X$ un espai topològic i $x_0$ un punt de $X$. Siga $\{A_n{\}}_{n\in I}$ un recobriment per oberts de $X$ (açò és que $X=\bigcup _{n\in I}{A}_n$ en cada $A_n$ obert de $X$), tal que:

1. $A_n$ és arcoconexo para tot $n\in I$,
2. $A_n\cap A_m$ és arcoconexo para tot $n,m\in I$,
3. $x_0\in A_n$ para tot $n\in I$;

llavors el morfismo de grups$\Phi :\underset{n\in I}{*}{\pi }_1(A_n)\to {\pi }_1(X)$ induït per les inclusions $A_n\hookrightarrow X$, és sobreyectivo.

Més encara, si ademés $A_n\cap A_m\cap A_l$ és arcoconexa para tot $n,m,l\in I$, resulta que $\ker (\Phi )$ és el subgrup normal generat per tots els elements de la forma ${\pi }_1(i_n)(\omega ){\pi }_1(i_m)(\omega {)}^{-1}$, en $\omega \in {\pi }_1(A_n\cap A_m)$. Es té per tant que $\Phi$ induïx un isomorfisme entre ${}^{\underset{n\in I}{*}{\pi }_1(A_n)}{/}_{\ker (\Phi )}$ i ${\pi }_1(X)$.

Vore també

• Grup fonamental
• Grupoide
• Topología algebraica

Referències

Bibliografia

• Allen Hatcher, Algebraic topology. (2002) Cambridge University Press, Cambridge, xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0
• Peter May, A Concise Course in Algebraic Topology. (1999) University of Chicago Press, ISBN 0-226-51183-9 (Section 2.7 provides a category-theoretic presentation of the theorem as a colimit in the category of groupoids).

Enllaços externs

• Plantilla:Planetmath