Hipercubo

Archiu:WUERFEL5 0- bis 5-dimensionale Wuerfelanaloge.png

Hipercubo

Este artícul tracta sobre el concepte matemàtic. Per a la película, vore Cube 2: Hypercube. Per a l'objecte de quatre dimensions conegut com hipercubo, vore Teseracto.

Perspectivas
Gaveta (3-gaveta)	Teseracto (4-gaveta)
Archiu:Hexahedron.svg	Archiu:Hypercube.svg

En geometria, un hipercubo és un element n-dimensional anàlec a un quadrat (n = 2) o a un gaveta (n=3). És una figura tancada, compacta i convexa, que el seu 1-esquelet consistix en grups de segments rectes paralels oposts alineats en cada una de les dimensions, perpendiculars entre sí i de la mateixa llongitut. La diagonal més llarga d'un hipercubo unitat en n dimensions és igual a $\sqrt{n}$ .

Un hipercubo n-dimensional es coneix més comunament com a n-gaveta, o també com una gaveta n-dimensional. El terme politopo de mida (originalment falcat per Elte, 1912)^[1] és usat especialment en el treball de H. S. M. Coxeter, que també etiqueta els hipercubos com γn politopos.^[2]

El hipercubo és un cas especial d'un hiperrectángulo (també cridat n-ortotopo).

Un "hipercubo unitari" és un hipercubo el costat del qual té una llongitut unitat. A sovint, el hipercubo els cantons del qual (o vèrtiços) són els punts 2ⁿ en R'ⁿ en cada coordenada igual a 0 o a 1 es diu hipercubo unitat.

Construcció

Archiu:Dimension levels.svg

Diagrama que mostra cóm crear un teseracto a partir d'un punt

Archiu:From Point to Tesseract (Looped Version).gif

Animació de la creació d'un teseracto a partir d'un punt

Els hipercubos es poden caracterisar en funció de la dimensió en la que es definixen:

0 - Un punt és un hipercubo de dimensió zero.

1 - Si es mou este punt una unitat de llongitut, agranarà un segment de recta, que és un hipercubo d'unitat de dimensió un.

2 - Si es mou este segment de recta la seua llongitut en una direcció perpendicular a sí mateixa; agrana un quadrat bidimensional.

3 - Si es mou el quadrat una unitat de llongitut en la direcció perpendicular al pla en el que es troba, generarà una gaveta tridimensional.

4 - Si es mou la gaveta una unitat de llongitut perpendicular en la quarta dimensió, genera un hipercubo unitat de 4 dimensions (un teseracto unitat).

Açò es pot generalisar a qualsevol cantitat de dimensions. Este procés d'agranada de volums pot formalisar-se matemàticament com una sumixca de Minkowski: el hipercubo d dimensional és la suma de Minkowski de d segments rectes de llongitut unitat perpendiculars entre sí, i per lo tant, és un eixemple de zonotopo.

L'1-esquelet d'un hipercubo és el seu grafo.

Coordenades

Un hipercubo unitari de dimensions n és l'envolvente convexa dels punts donats per totes les permutació de signes de les coordenades cartesianas $(\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2}, \dots, \pm \frac{1}{2})$ . Té una llongitut d'aresta d'1 i un volum n dimensional d'1.

Un hipercubo n dimensional també es considera a sovint com la envolvente convexa de totes les permutació de signes de les coordenades $(\pm 1, \pm 1, \dots, \pm 1)$ . Esta fòrmula a sovint s'elegix per la facilitat d'escriure les coordenades. La seua llongitut d'aresta és 2 i el seu volum n dimensional és 2ⁿ.

Referències

↑ Elte, E. L. (1912). «IV, Five dimensional semiregular polytope», The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces, Netherlands: Universitat de Groninga. ISBN 141817968X.
↑ Coxeter, 1973, §7.2 see illustration Fig 7.2C.

Este artícul conté una traducció derivada de «Hipercubo» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Elte, E. L. (1912). «IV, Five dimensional semiregular polytope», The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces, Netherlands: Universitat de Groninga. ISBN 141817968X.

[FOOTNOTECoxeter1973{{{c}}}122-123§7.2_see_illustration_Fig_7.2<small>C</small>-2] Coxeter, 1973, §7.2 see illustration Fig 7.2C.

[1]

[2]