Interior (topología)

Siga $(X,𝒯)$ un espai topològic, i $A\subset X$. Es definix el interior de $A$ (notat $\text{int}(A)$, $\stackrel{\circ }{A}$, o $A^{\circ }$) com l'unió de tots els oberts continguts en $A$. És dir, $V=\text{int}(A)$ si i solament si V és obert, està contingut en A i tot un atre obert contingut en A està contingut també en $V$ (vore #Eixemples).

Caracterisació

Constructivament, es definix $\text{int}(A)=\bigcup \{V\in 𝒯:V\subset A\}$. Notar que esta construcció garantisa l'existència d'este obert maximal, puix l'unió d'oberts és un obert i el conjunt buit sempre està contingut en A.

Cas general

L'interior topològic es pot caracterisar en el cas general per mig d'entorns de la següent manera:

Es diu que un punt $a\in \text{int}(A)$ solament si $A$ és un entorn d'este punt. És dir, si existix un obert $O\in 𝒯$ de tal manera que $a\in O\subseteq A$.

Cas d'espais mètrics

Si $(X,𝒯)$ consistix en un espai mètric, es pot desenrollar encara més:

$\text{int}(A)=\{a\in A|\mathrm{\exists }ϵ>0,B_{ϵ}(a)\subset A\}$

En este cas, un punt $a\in A$ és part de l'interior de $A$ solament si existix una bola oberta continguda en $A$, centrada en el punt $a$ en radi $ϵ>0$, o siga, radi positiu (açò es desprén de la definició: una bola oberta necessàriament té radi positiu).

Propietats

Les següents són les principals propietats de l'interior:

1. $\text{int}(A)\subset A$
2. $A$ és obert si i solament si $\text{int}(A)=A$
3. $\text{int}(\text{int}(A))=\text{int}(A)$
4. $A\subset B\Rightarrow \text{int}(A)\subset \text{int}(B)$
5. $\text{int}(\varnothing )=\varnothing ,\text{int}(X)=X$ (puix abdós són conjunts oberts i tancats, per definició d'una topología)
6. $\text{int}(A)\cap \text{int}(B)=\text{int}(A\cap B)$
7. $\text{int}(A)\cup \text{int}(B)\subset \text{int}(A\cup B)$
8. $\text{int}(A)=(\overline{A^c}{)}^c$
9. L'interior de $A$, la frontera de $A$ i l'exterior de $A$ constituïxen una partició de $X$. És dir: $\partial A\cup \text{int}(A)\cup (X-A)=X$ i $\partial A\cap \text{int}(A)=\varnothing$, $\partial A\cap (X-A)=\varnothing$, i $\text{int}(A)\cap (X-A)=\varnothing$

Hi ha conjunts que el seu interior és el conjunt buit, i que la seua adherencia és tot l'espai, com per eixemple els irracionals $𝕀$ i els racionals $\mathbb{Q}$ en la recta real. Puix si considerem k un element de ℚ i l'interval obert <k-r, k+r>, este interval que comporta k no està inclós en ℚ.