Constant de Apéry

Archiu:Apéry's constant.svg

Aproximació de la constant de Apéry per mig de la seua successió de sumes parcials.

En matemàtiques, la constant de Apéry és un número curiós que apareix en diverses situacions. Es definix com el número ζ(3) tal que,

$\begin{array}{cc}\zeta (3)& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{n^3})\end{array}$

a on ζ és la funció zeta de Riemann. I té un valor de

$\zeta (3)=1,202056903159594285399738161511449990764986292\dots$

Teorema de Apéry

Este valor deu el seu nom a Roger Apéry (1916-1994), qui en 1977 va provar que era irracional. Este resultat és conegut com "Teorema de Apéry". La prova original és complexa i proves més curtes han segut trobades usant els Polinomis de Legendre.

El resultat ha permaneixcut prou aïllat: poc se sap sobre ζ(n) para uns atres número impar n.

Representació per séries

En 1772, Leonhard Euler va donar la representació de la série

$\zeta (3)=\frac{{\pi }^2}{7}[1-4\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}]$

que va ser posteriorment redescubierta vàries voltes, incloent Ramaswami en 1934.

Simon Plouffe va donar numeroses séries, que són notables sobre que poden donar varis dígits per repetició. Estes inclouen:

$\zeta (3)=\frac{7}{180}{\pi }^3-2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3(e^{2\pi n}-1)}$

i

$\zeta (3)=14\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3\sinh (\pi n)}-\frac{11}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3(e^{2\pi n}-1)}-\frac{7}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3(e^{2\pi n}+1)}$

Moltes séries sumatorias han segut trobades, incloent:

$\zeta (3)=\frac{8}{7}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2k+1{)}^3}$

$\zeta (3)=\frac{4}{3}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(k+1{)}^3}$

$\zeta (3)=\frac{5}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{(n!{)}^2}{n^3(2n)!}$

$\zeta (3)=\frac{1}{4}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{56n^2-32n+5}{(2n-1{)}^2}\frac{((n-1)!{)}^3}{(3n)!}$

$\zeta (3)=\frac{8}{7}-\frac{8}{7}\sum _{t=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^t{2}^{-5+12t}t(-3+9t+148t^2-432t^3-2688t^4+7168t^5){t!}^3{(-1+2t)!}^6}{{(-1+2t)}^3\left(3t\right)!{(1+4t)!}^3}$

$\zeta (3)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{205n^2+250n+77}{64}\frac{(n!{)}^{10}}{((2n+1)!{)}^5}$

i

$\zeta (3)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{P(n)}{24}\frac{((2n+1)!(2n)!n!{)}^3}{(3n+2)!((4n+3)!{)}^3}$

a on

$P(n)=126392n^5+412708n^4+531578n^3+336367n^2+104000n+12463.$

Algunes d'estes han segut utilisades per a calcular varis millons de dígits de la constant de Apéry.

Referències

• V. Ramaswami, Notes on Riemann's ζ-function, (1934) J. London Math. Soc. 9 pp. 165-169.
• Roger Apéry, Irrationalité de ζ(2) et ζ(3), (1979) Astérisque, 61:11-13.
• Alfred van der Poorten, A proof that Euler missed. Apéry's proof of the irrationality of ζ(3). An informal report.,(1979) Math. Intell., 1:195-203.
• Simon Plouffe, Identities inspired from Ramanujan Notebooks II
• Archivat el 30 de giner de 2009 archivat en Wayback Machine., (1998)
• Simon Plouffe, Zeta(3) or Apéry constant to 2000 plaus [1] archivat en Wayback Machine., (undated).
• Xavier Gourdon & Pascal Sebah, The Apéry's constant: z(3)