Polinomis de Legendre

En matemàtiques, en l'anàlisis d'equacions diferencials ordinàries, les funcions de Legendre són les solucions de les equacions diferencials de Legendre:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[(1-x^2)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{P}_n(x)]+n(n+1)P_n(x)=0.$

cridades aixina en honor del matemàtic francés Adrien-Marie Legendre. Estes equacions es troben freqüentment en Física. En particular, apareixen quan es resol l'equació de Helmholtz (un tipo d'equació en derivades parcials) en coordenades esfèriques per mig del método de separació de variables.

L'equació diferencial de Legendre pot resoldre's usant el método de série de potències. En general la série de potències obtinguda convergix quan |x| < 1 i en el cas particular de que n siga un sancer no negatiu (0, 1, 2,...) les solucions formen una família de polinomis ortogonals cridats Polinomis de Legendre.

Cada polinomi de Legendre P_n(x) és un polinomi de grau n. Est pot ser expressat usant la Fòrmula de Rodrigues:

$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}[(x^2-1{)}^n].$

Una expressió explícita

Desenrollant la fòrmula de Rodrigues s'obté la següent expressió per als Polinomis de Legendre

$P_n(x)=\frac{1}{2^n}\sum _{k=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^2(x+1{)}^{n-k}(x-1{)}^k$

esta expressió és útil en cas de per eixemple de voler elaborar un programa que grafique els polinomis de Legendre, d'esta expressió és relativament fàcil obtindre una per als polinomis associats de Legendre, que apareixen en la resolució de problemes com, per eixemple, l'àtom d'hidrogen.

La propietat de ortogonalidad

Una important propietat dels polinomis de Legendre és que estos són ortogonalés sobre el producte escalar definit en L² en l'interval −1 ≤ x ≤ 1:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_m(x)P_n(x)dx=\frac{2}{2n+1}{\delta }_{mn}$

(a on δ_mn denota la delta de Kronecker, igual a 1 si m = n i 0 per a atres casos). De fet, una derivació alternativa dels polinomis de Legendre és portant a terme processos de Gram-Schmidt en els polinomiales {1, x, x²,...} sobre un producte intern. La raó d'esta propietat de ortogonalidad és que l'equació diferencial de Legendre pot ser vista com un problema de Sturm-Liouville

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[(1-x^2)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}P(x)]=-\lambda P(x),$

a on els valors propis λ corresponen a n(n+1).

Vore també

• Quadratura de Gauss
• Polinomis associats de Legendre

Bibliografia en espanyol

• Derrick - Grossman: "Equacions diferencials en aplicacions" (1984)- Fondo educatiu interamaricano- imprés en Mèxic.