Polinomis associats de Legendre

Archiu:Mplwp legendreP04a0.svg

Polinomis associats de Legendre

En matemàtiques, els polinomis associats de Legendre són les solucions canòniques de la equació de Legendre

$(1-x^2)y^{″}-2x{y}^{\prime }+(\ell [\ell +1]-\frac{m^2}{1-x^2})y=0,$

o de forma equivalent

$([1-x^2]y^{\prime }{)}^{\prime }+(\ell [\ell +1]-\frac{m^2}{1-x^2})y=0,$

a on els índexs ℓ i m (els quals són sancers) són el grau i l'orde del polinomi associat de Legendre respectivament. Esta equació té solucions distintes de zero que són no singulars en [−1, 1] solament si ℓ i m són sancers en 0 ≤ m ≤ ℓ, o en valors negatius trivialmente equivalents. Si ademés m és parell, la funció és un polinomi. Quan m és zero i ℓ sancer, estes funcions són idèntiques als polinomis de Legendre. En general, quan ℓ i m són sancers, les solucions regulars a voltes són cridades "polinomis associats de Legendre", inclús quan estes no són polinomis en el cas de que m siga impar. La classe de funcions en el cas completament general en valors reals o complexos de ℓ i m són cridades funcions de Legendre. En este cas els paràmetros són usualment etiquetats en lletres gregues.

l'equació diferencial ordinària de Legendre és trobada freqüentment en física ademés d'atres camps. En particular, esta equació apareix quan se soluciona l'equació de Laplace (i equacions en derivades parcials similars). Els polinomis associats de Legendre eixerciten un paper vital en la definició dels harmònics esfèrics.

Definició per a valors no negatius de ℓ i m

Estes funcions són denotades com $P_{\ell }^m(x)$, a on el superíndex indica l'orde, i no la potència de P. La seua definició més directa es dona en térmens de les derivades dels polinomis de Legendre ordinaris (m ≥ 0)

$P_{\ell }^m(x)=(-1{)}^m(1-x^2{)}^{m/2}\frac{d^m}{d{x}^m}(P_{\ell }(x))$

El factor (−1)^m en esta fòrmula és conegut com la fase de Condon–Shortley. Alguns autors l'ometen. Les funcions descrites per esta equació satisfan l'equació diferencial de Legendre donat un paràmetro ℓ, i m indica les voltes que es deriva l'equació de Legendre P_ℓ

$(1-x^2)\frac{d^2}{d{x}^2}{P}_{\ell }(x)-2x\frac{d}{dx}{P}_{\ell }(x)+\ell (\ell +1)P_{\ell }(x)=0.$

Més encara, ya que per la fòrmula de Rodrigues

$P_{\ell }(x)=\frac{1}{2^{\ell }\ell !}\frac{d^{\ell }}{d{x}^{\ell }}[(x^2-1{)}^{\ell }],$

el PPlantilla:La seua pot ser expressat de la forma

$P_{\ell }^m(x)=\frac{(-1{)}^m}{2^{\ell }\ell !}(1-x^2{)}^{m/2}\frac{d^{\ell +m}}{d{x}^{\ell +m}}(x^2-1{)}^{\ell }.$

Esta equació permet l'extensió del ranc de m a: −ℓ ≤ m ≤ ℓ. Les definicions de P_ℓ^±m obtingudes d'esta expressió per substitució de ±m, són proporcionals. És dir, s'igualen els coeficients de la mateixa potència a l'esquerra i dreta de

$\frac{d^{\ell -m}}{d{x}^{\ell -m}}(x^2-1{)}^{\ell }=c_{lm}(1-x^2{)}^m\frac{d^{\ell +m}}{d{x}^{\ell +m}}(x^2-1{)}^{\ell },$

i es té que la constant de proporcionalitat és

$c_{lm}=(-1{)}^m\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!},$

de manera que

$P_{\ell }^{-m}(x)=(-1{)}^m\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}{P}_{\ell }^m(x).$

Notacions alternatives

Les següents definicions alternatives també són usades en la lliteratura:

$P_{\ell m}(x)=(-1{)}^m{P}_{\ell }^m(x)$

Ortogonalidad

Assumint que 0 &li; m &li; &#;, se satisfà la condició de ortogonalidad per a un m fix:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_k^m{P}_{\ell }^{m}dx=\frac{2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}{\delta }_{k,\ell }$

A on δ_k, &#; és la delta de Kronecker.

Similarment, també se satisfà la condició de ortogonalidad per a un ℓ fix:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{P_{\ell }^m{P}_{\ell }^n}{1-x^2}dx=\{\begin{array}{cc}0& \text{si }m\ne n\\ \frac{(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}& \text{si }m=n\ne 0\\ \mathrm{\infty }& \text{si }m=n=0\end{array}$

Referències

• Arfken G.B., Weber H.J., Mathematical methods for physicists, (2001) Academic Press, ISBN 0-12-059825-6 vore secció 12.5.
• A.R. Edmonds, Angular Momentum in Quàntum Mechanics, (1957) Princeton University Press, ISBN 0-691-07912-9 vore capítul 2.
• E. U. Condon and G. H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra, (1970) Cambridge, England: The University Press. Plantilla:OCLC vore capítul 3
• F. B. Hildebrand, Advanced Calculus for Applications, (1976) Prentice Hall, ISBN 0-13-011189-9
• Belousov, S. L. (1962), Tables of normalized associated Legendre polynomials, Mathematical tables series Vol. 18, Pergamon Press, 379p.

Vore també

• Polinomis de Legendre