Harmònics esfèrics

Archiu:Spherical Harmonics.png

Representacions visuals dels primers harmònics esfèrics reals. Les porcions blaves representen regions a on la funció és positiva, i les grogues, a on és negativa. La distància de la superfície a l'orige indica el valor absolut de $Y_{\ell }^m(\theta ,\phi )$ en direcció angular $(\theta ,\phi )$.

En matemàtiques, els harmònics esfèrics són funcions harmòniques que representen la variació espacial d'un conjunt ortogonal de solucions de l'equació de Laplace quan la solució s'expressa en coordenades esfèriques.

Els harmònics esfèrics són importants en moltes aplicacions teòriques i pràctiques, en particular en la física atòmica (ya que la funció d'ona dels electrons conté harmònics esfèrics) i en la teoria del potencial, que resulta rellevant tant per al camp gravitatorio com per a l'electrostàtica.

Introducció

Archiu:Rotating spherical harmonics.gif

Harmònics esfèrics de variable real $Y_{lm}$, per a $l=0,\mathrm{...},4$ (de dalt a avall) i $m=0,\mathrm{...},4$ (d'esquerra a dreta). Els harmònics en $m$ negatiu $Y_{l-m}$ són idèntics pero rotados 90°/$m$ graus al voltant de l'eix $z$ sobre els positius.

l'equació de Laplace en coordenades esfèriques ve donada per:

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}=0$

(vore també nabla i laplaciano en coordenades esfèriques). Si en esta expressió es consideren solucions particulars de la forma, $f(r,\theta ,\phi )=R(r)Y(\theta ,\phi )$, la part angular $Y$, se li denomina harmònic esfèric i satisfà la relació:

$\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial Y(\theta ,\phi )}{\partial \theta })+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}Y(\theta ,\phi )}{\partial {\phi }^2}+l(l+1)Y(\theta ,\phi )=0$

Si a la seua volta s'usa el método de separació de variables a esta última equació es pot vore que l'equació anterior admet solucions periòdiques en les dos coordenades angulars $l$ és un número entero. Llavors la solució periòdica del sistema anterior dependrà dels dos sancers ($l$, $m$) i vindrà donada en térmens de funcions trigonométricas i de polinomis associats de Legendre:

$Y_{\ell }^m(\theta ,\phi )=N{e}^{im\phi }{P}_{\ell }^m(\cos \theta )$,

A on $Y_{\ell }^m$ es diu funció harmònica esfèrica de grau $\ell$ i orde $m$, $P_{\ell }^m$ és el polinomi associat de Legendre, $N$ és una constant de normalisació i $\theta$ i $\phi$ representen les variables angulars (l'àngul polar o colatitud i assimutal o llongitut, respectivament).

Les coordenades esfèriques utilisades en este artícul són consistents en les utilisades pels físics, pero diferixen de les utilisades pels matemàtics (vore coordenades esfèriques). En particular, la colatitud $\theta$, o àngul polar, es troba en el ranc $0\le \theta \le \pi$ i la llongitut $\phi$, o azimut, posseïx el ranc $0\le \phi <2\pi$. Per lo tant, $\theta$ és 0 en el Pol Nort, $\pi /2$ en l'Equador, i $\pi$ en el Pol Sur.

Quan l'equació de Laplace es resol sobre un domini esfèric, les condicions de periodicitat sobre la frontera en la coordenada $\phi$ aixina com les condicions de regularitat en el "pol nort" i "sur" de l'esfera, comporten com s'ha dit que els números el grau l i l'orde m necessaris per a que se satisfacen deuen ser sancers que complixen: $\ell \ge 0$ i $|m|\le \ell$.

Normalisació

Existixen vàries normalisació utilisades per a les funcions d'harmònics esfèrics. En física i sismologia estes funcions són generalment definides com

$Y_{\ell }^m(\theta ,\phi )=A_{\ell }^m{P}_{\ell }^m(\cos \theta )e^{im\phi }$

a on

$A_{\ell }^m=\sqrt{\frac{(2\ell +1)}{4\pi }\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}$

Estes funcions estan ortonormalizadas

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\phi \underset{-1}{\overset{1}{\int }}d(\cos \theta )Y_{\ell }^m(\theta ,{\phi }^{*})Y_{{\ell }^{\prime }}^{m^{\prime }*}(\theta ,\phi )={\delta }_{\ell {\ell }^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }}$, a on ${\delta }_{ii}=1$, ${\delta }_{ij}=0$ si $i\ne j$, (vore delta de Kronecker). Mentres que en les àrees de geodèsica i anàlisis espectral s'utilisa

$Y_{\ell }^m(\theta ,\phi )=\sqrt{(2\ell +1)\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}{P}_{\ell }^m(\cos \theta )e^{im\phi }$

que posseïx una potència unitària

$\frac{1}{4\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\phi \underset{-1}{\overset{1}{\int }}d(\cos \theta )Y_{\ell }^m(\theta ,{\phi }^{*})Y_{{\ell }^{\prime }}^{m^{\prime }*}(\theta ,\phi )={\delta }_{\ell {\ell }^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }}$.

En temes de magnetisme, en canvi, s'utilisen els harmònics de Schmidt semi-normalisats

$Y_{\ell }^m(\theta ,\phi )=\sqrt{(2l+1)\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}{P}_{\ell }^m(\cos \theta )e^{im\phi }$

posseïxen la següent normalisació

$\underset{\phi =0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}d(cos\theta )Y_{\ell }^m(\theta ,{\phi }^{*})Y_{{\ell }^{\prime }}^{m^{\prime }*}(\theta ,\phi )=\frac{4\pi }{(2\ell +1)}{\delta }_{\ell {\ell }^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }}$.

Utilisant l'identitat (vore Polinomis associats de Legendre)

$P_{\ell }^{-m}=(-1{)}^m\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}{P}_{\ell }^m$

es pot demostrar que totes les funcions harmòniques esfèriques normalisades mencionades en els paràgrafs anteriors satisfan

$Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\phi )=(-1{)}^m{Y}_{\ell }^{-m}(\theta ,\phi )$,

a on el símbol * significa conjugació complexa.

Convenció de fase de Condon-Shortley

Una font de confusió en la definició dels esfèrics harmònics és el factor de fase de $(-1{)}^m$, comunament identificat com la fase de Condon-Shortley en la lliteratura relacionada en mecànica quàntica. En l'àrea de mecànica quàntica, és pràctica usual incloure este factor de fase en la definició de les funcions associades de Legendre, o acoplar-ho a la definició de les funcions harmòniques esfèriques. No existix cap requeriment que obligue a utilisar la fase de Condon-Shortley en la definició de les funcions esfèriques harmòniques pero, si és que li l'inclou, llavors algunes operacions en el camp de la mecànica quàntica són més simples. Pel contrari en els camps de geodèsia i magnetisme mai s'inclou el factor de fase de Condon-Shortley en la definició dels esfèrics harmònics.

Definició matemàtica: Harmònics hiperesféricos

En matemàtiques s'usa una noció d'harmònic esfèric més àmplia que en física. Donat un polinomi P(x) homogéneu i harmònic de grau m sobre ${ℝ}^n$ es denomina harmònic esfèric de grau m a la funció obtinguda com a restricció de P(x) a la (n-1)-esfera $S^{n-1}\subset {ℝ}^n$. Les funcions considerades anteriorment $Y(\theta ,\phi )$ són òbviament eixemples de funcions harmòniques, pero també són certes combinacions llineals dels mateixos. Per a n > 3 la definició anterior permet definir harmònics hiperesféricos, que generalisen la definició a espais de dimensió superior.

Si ${\mathscr{H}}_m(S^n)$ designa a tots les funcions harmòniques de grau m, es poden demostrar una série de propietats importants:

1. L'espai de funcions de quadrat integrable sobre la n-esfera és suma directa d'espais anteriors $L^2(S^n)=\underset{m=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{\mathscr{H}}_m(S^n)$
2. Daus dos espais ${\mathscr{H}}_m(S^n)$ i ${\mathscr{H}}_k(S^n)$ en $m\ne k$, llavors eixos dos espais són ortogonalés.
3. La dimensió de l'espai ${\mathscr{H}}_m(S^n)$ ve donada per:

$\dim {\mathscr{H}}_m(S^{n-1})=\left(\begin{array}{c}n+m-1\\ n-1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n+m-3\\ n-1\end{array}\right)$

Expansió en harmònics esfèrics

Els harmònics esfèrics formen un conjunt complet ortonormal de funcions i per lo tant formen un espai vectorial anàlec a vectores unitaris de la base. Sobre l'esfera unitària, tota funció de quadrat integrable pugues, per lo tant, ser expandida com una combinació llineal de:

$f(\theta ,\phi )=\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-\ell }^{\ell }{f}_{\ell }^m{Y}_{\ell }^m(\theta ,\phi )$.

Esta expansió és exacta sempre i quan $\ell$ s'estenga a infinit. Es produirà un error de truncació en llimitar la suma sobre $\ell$ a un ample de banda finito $L$. Els coeficients de l'expansió $f_{\ell }^m$ poden obtindre's multiplicant l'equació precedent pel complex conjugat dels esfèrics harmònics, integrant sobre un àngul sòlit $\Omega$, i utilisant les relacions de ortogonalidad indicades prèviament. Per al cas d'harmònics ortonormalizados, s'obté

$f_{\ell }^m=\underset{\Omega }{\int }f(\theta ,\phi )Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\phi )d\Omega =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\phi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}d\theta \sin \theta f(\theta ,\phi )Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\phi )$.

Un conjunt alternatiu d'harmònics esfèrics per a funcions reals pot ser obtingut a partir del conjunt

$Y_{\ell m}=\{\begin{array}{c}{Y}_{\ell }^0\text{ si }m=0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}(Y_{\ell }^m+(-1{)}^m{Y}_{\ell }^{-m})=\sqrt{2}N{P}_{\ell }^m(\theta )\cos m\phi \text{si }m>0\\ \frac{1}{i\sqrt{2}}(Y_{\ell }^{|m|}-(-1{)}^{|m|}{Y}_{\ell }^{-|m|})=\sqrt{2}N{P}_{\ell }^{|m|}(\theta )\sin |m|\phi \text{ si }m<0.\end{array}$

Estes funcions tenen les mateixes propietats de normalisació que les funcions complexes indicades prèviament. En esta notació, una funció real integrable pot ser expressada com una suma d'harmònics esfèrics d'infinits térmens com

$f(\theta ,\phi )=\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-\ell }^{\ell }{f}_{lm}{Y}_{lm}(\theta ,\phi )$.

Vore també

• Coeficients de Clebsch-Gordan
• Funció harmònica
• Teoria de Sturm-Liouville

Bibliografia

• A.R. Edmonds, Angular Momentum in Quàntum Mechanics, (1957) Princeton University Press, ISBN 0-691-07912-9.
• E. U. Condon and G. H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra, (1970) Cambridge at the University Press, ISBN 0-521-09209-4, See chapter 3.
• J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, ISBN 0-471-30932-X
• Albert Messiah, Quàntum Mechanics, volume II. (2000) Dover. ISBN 0-486-40924-4.
• D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii Quàntum Theory of Angular Momentum,(1988) World Scientific Publishing Co., Singapore, ISBN 9971-5-0107-4

Enllaços externs

• Spherical harmonics en MathWorld.
• Spherical Harmonic Models of Planetary Topography
• Spherical harmonics generator in OpenGL
• General Solution to LaPlace's Equation in Spherical Harmonics (Spherical Harmonic Analysis). Solid Earth Geophysics.