Funció homogénea

En matemàtiques, una funció homogénea és una funció tal que, si tots els seus arguments es multipliquen per un escalar, llavors el seu valor es multiplica per alguna potència d'este escalar, cridat grau d'homogeneïtat, o simplement el grau; és dir, si k és un número entero, una funció f de variables n és homogénea de grau k si

$f(s{x}_1,\dots ,s{x}_n)=s^{k}f(x_1,\dots ,x_n)$

per a cada $x_1,\dots ,x_n,$ i $s\ne 0.$

Expressat d'una atra manera, és una funció que presenta un interessant comportament multiplicativo d'escala: si tots els arguments es multipliquen per un factor constant, llavors el valor de la funció resulta ser un cert número de voltes el factor multiplicativo elevat a una potència. Dita potència és el grau de la funció homogénea (vore Definició formal).

Definició formal

Supongam una funció la definició de la qual és $f:V\to W$ entre dos espais vectorials sobre el mateix cos $F$. Llavors es diu que $f$ és homogénea de grau k si:

Eixemples

Les funcions llineals

Qualsevol funció llineal $f:V\to W$ és homogénea de grau 1, ya que per definició es té:

per a tot $\alpha \in F$ i $𝐯\in V$. De la mateixa manera, qualsevol funció multilineal $f:V_1\times \dots \times V_n\to W$ és homogénea de grau n, per definició.

per a tot $\alpha \in F$ i ${𝐯}_1\in V_1,\dots ,{𝐯}_n\in V_n$. Se seguix que la n-ésima derivada de Fréchet d'una funció $f:X\to Y$ entre dos espais de Banach $X$ i $Y$ és homogénea de grau $n$.

Polinomis homogéneus

Els monomis de $n$ variables reals definixen funcions homogénees$f:{ℝ}^n\to ℝ$. Per eixemple,

és homogénea de grau 10 lloc que:

Un polinomi homogéneu és un polinomi tal que tots els seus térmens tenen el mateix grau. Per eixemple,

és un polinomi homogéneu de grau 5.

Bibliografia

• Blatter, Christian (1979). «20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.», Analysis II (2nd ed.) (en alemà), Springer Verlag, pp. 188. ISBN 3-540-09484-9.