Àlgebra multilineal

En la matemàtica, el àlgebra multilineal és un àrea d'estudi que generalisa els métodos del àlgebra llineal. Els objectes d'estudi són els productes tensoriales d'espais vectorials i les transformacions multi-llineals entre els espais.^[1]

L'àlgebra multilineal estén els principis de l'àlgebra llineal a dimensions superiors, tractant en objectes com a tensors, mapes multilineales i productes exteriors. La seua aplicació comprén varis camps, proporcionant ferramentes essencials per a resoldre problemes complexos en disciplines com la física, l'informàtica, l'economia i l'aprenentage automàtic.^[2]

En física, l'àlgebra multilineal eixercita un paper crucial en l'estudi de camps tensoriales, que descriuen les propietats físiques dels objectes en l'espai-temps, com les tensions, la deformació i els camps electromagnètics. Els tensors, que són generalisacions d'escalares i vectores, s'utilisen en la teoria general de la relativitat per a descriure la curvatura de l'espai-temps. Ademés, en la mecànica quàntica, l'àlgebra multilineal és essencial per a tractar en operadors que actuen sobre estats quàntics de múltiples partícules i formular problemes multidimensionales.^[3]^[4]

En informàtica, l'àlgebra multilineal és fonamental en l'aprenentage automàtic, especialment en àrees com l'aprenentage profunt, a on els tensors s'utilisen per a representar senyes en rets neuronals. Operacions com la descomposició de tensors permeten extraure patrons i estructures significatives de grans conjunts de senyes.^[5] Les rets neuronals convolucionales (CNN), per eixemple, depenen en gran mida de les operacions en tensors per a processar i reconéixer senyes d'imàgens.^[6] Ademés, l'àlgebra multilineal és clau en l'informàtica gràfica, a on es realisen transformacions i proyeccions en l'espai 3D utilisant matrius i tensors.

En economia, l'àlgebra multilineal troba aplicacions en problemes d'optimisació, especialment en àrees com la teoria de jocs, a on els processos de presa de decisions en múltiples agents poden ser modelats en l'ajuda de tensors i apanys multidimensionales. L'àlgebra multilineal també s'utilisa en l'estudi de models de insumo-producte, que descriuen les interrelacions entre diferents sectors d'una economia.^[7]

Finalment, les ciències biològiques es beneficien de l'àlgebra multilineal a través d'aplicacions en la genómica, a on les descomposicions de tensors s'utilisen per a analisar grans conjunts de senyes biològiques, com els nivells d'expressió gènica en diferents condicions.^[8] En biologia de sistemes, estes tècniques ajuden a modelar i comprendre rets bioquímiques complexes.

Orige

Si ben molts conceptes i aplicacions teòriques involucren vectores simples, matemàtics com Hermann Grassmann varen considerar estructures que involucren parells, triplets i multivectors que generalisen vectores. En múltiples possibilitats combinacionales, l'espai de multivectors s'expandix a 2ⁿ dimensions, a on n és la dimensió de l'espai vectorial rellevant.^[9] El determinant es pot formular de forma abstracta utilisant les estructures de l'àlgebra multilineal.

L'àlgebra multilineal apareix en l'estudi de la resposta mecànica dels materials a la tensió i la deformació, involucrant varis mòduls d'elasticitat. El terme «tensor» descriu elements dins de l'espai multilineal per la seua estructura afegida. A pesar dels primers treballs de Grassmann en 1844 en el seu Ausdehnungslehre, que també es va tornar a publicar en 1862, al principi el tema no es va comprendre àmpliament, ya que inclús l'àlgebra llineal ordinària plantejava molts reptes en aquella época.

Els conceptes de l'àlgebra multilineal troben aplicacions en certs estudis de càlcul multivariante i varietats, en particular referent a la matriu jacobiana. Els diferencials infinitesimals que es troben en el càlcul d'una sola variable es transformen en formes diferencials en Càlcul multivariable, i la seua manipulació es porta a terme utilisant l'àlgebra exterior.^[10]

Despuix de Grassmann, els desenrolls en àlgebra multilineal varen ser realisats per Victor Schlegel en 1872 en la publicació de la primera part de la seua System der Raumlehre ^[11] i per Elwin Bruno Christoffel. Notablement, alvanços significatius varen vindre a través del treball de Gregorio Ricci-Curbastro i Tullio Levi-Civita,^[12] particularment en la forma de càlcul diferencial absolut dins de l'àlgebra multilineal. Marcel Grossmann i Michele Besso varen introduir esta forma a Albert Einstein, i en 1915, la publicació d'Einstein sobre relativitat general, explicant la precesión del perihelio de Mercurio, va establir l'àlgebra multilineal i els tensors com a importants ferramentes matemàtiques en física.

En 1958, Nicolas Bourbaki va incloure un capítul sobre àlgebra multilineal titulat «“”Algèbre Multilinéaire“”» en la seua série Éléments de mathématique, concretament dins del llibre d'àlgebra. El capítul tracta temes com les funcions bilineales, el producte tensorial de dos mòduls, i les propietats dels productes tensoriales.^[13]

Notació

L'àlgebra multilineal fa un us intensiu de la notació multi-índex. Una notació d'eixe tipo fa representar les combinacions llineals per un conjunt de dos o més índexs repetits.^[14]

En el cas elemental (tensors de ranc un contravariantes) tenim, usant la convenció de la suma d'Einstein: $X = X^{s} e_{s}$ . La qual cosa indica que l'objecte X, és la combinació llineal:

sobre els vectores bàsics

e_{s}

, i els

X^{s}

cridats els components de X. Ací

n

és la dimensió (algebraica) d'espai a on "viu" X. Per convenció es diu a estos 1-contra-tensors.

En ranc un també estan els 1-co tensors, és dir mapages llineals des de l'espai elegit cap al camp dels escalares. Ells s'escriuen com a combinació llineal dels funcionals llineals $e^{s}$ , transformacions llineals $V \to 𝕂$ que satisfan: $e^{s} (e_{σ}) = {δ^{s}}_{σ}$ , a on (com clásicamente) s'està usant la delta de Kronecker. Aixina qualsevol covector $f : V \to 𝕂$ s'escriu com $f = f_{s} e^{s}$ , notació que abrevia $f = f_{1} e^{1} + \dots + f_{n} e^{n}$ .
Tensors de ranc dos:
- Un tensor de ranc dos contravariante és $B = B^{s t} e_{s} \otimes e_{t}$ .
- Un tensor de ranc dos covariant és $C = C_{s t} e^{s} \otimes e^{t}$ .
- I un tensor de ranc dos mixt és $D = {D^{s}}_{t} e_{s} \otimes e^{t}$ . Açò indica una combinació llineal bi-indexada.

Per eixemple,

si la dimensió de l'espai és dos.

Generalisant lo anterior s'escriu ${A^{i_{1} i_{2} ... i_{p}}}_{j_{1} j_{2} ... j_{q}}$ per a representar els components d'un tensor mixt A, que és p-contravariante i q-covariant. Pero

representa una combinació llineal multi-indexada.

Tot lo anterior només ha segut considerant que l'espai vectorial és de dinensión finita igual a n.

Producte tensorial

Tenint dos espais vectorials V, W, en respectives bases ${b_{1}, ..., b_{n}}$ , ${c_{1}, ..., c_{m}}$ es definix el seu producte tensorial

és dir l'espai vectorial generat pels nous símbols

I per lo tant si un objecte X que viu en (pertany a) $V \otimes W$ llavors ell es pot representar com una combinació llineal

i la qual es va a abreviar com

els índexs repetits s o t, una volta dalt i una volta avall -està convingut- indica sumación, cada u.

Esta definició és absolutament abstracta, pero des del punt de vista algebraic no hi ha cap problema explorar totes les possibilitats del producte tensorial. Una plétora d'espais sorgix (i d'importància capital) simplement en considerar un espai vectorial V i la seua dual $V^{*}$ un obté els espais:

$V \otimes V^{*} = H o m (V)$

$V^{*} = Λ^{1} (V)$

$V \land V$

$Λ^{k} (V)$

Tots ells d'us quotidià en la geometria diferencial, geometria algebraica, àlgebra conmutativa, relativitat i quàntica, teories de camp, QFT, TQFT i unes atres.

Tensors i formes

Siga $V$ generat pels $b_{i}$ . Simbolisem en $β^{μ}$ la base de dual $V^{*}$ . Qualsevol element de $V^{*} \otimes V^{*}$ s'escriu de la forma $B_{μ ν} β^{μ} \otimes β^{ν}$ . Esta mateixa expressió pot ser vista com un mapa bilineal

V \times V \overset{B_{μ ν} β^{μ} \otimes β^{ν}}{⟶} ℝ

(b_{i}, b_{j}) \mapsto B_{μ ν} β^{μ} \otimes β^{ν} (b_{i}, b_{j}) = B_{i j}

sabent que $β^{μ} \otimes β^{ν} (b_{i}, b_{j}) = {δ^{μ}}_{i} {δ^{ν}}_{j}$ - kronecker.

Un atre de ranc dos és $V \otimes V^{*}$ . Els elements d'ací es veuen com a combinacions llineals bi-indexades ${B^{μ}}_{ν} b_{μ} \otimes β^{ν}$ .

Utilisació en topología algebraica

Cap a mediats de el XX, els tensors es varen reformular de forma més abstracta. El tractat Àlgebra multilineal del grup Bourbaki va ser especialment influent; de fet, el terme àlgebra multilineal pugues haver-se originat allí.^[15]

Una de les raons de llavors va ser una nova àrea d'aplicació, l'àlgebra homollògica. El desenroll de la topología algebraica durant la década de 1940 va supondre un incentiu adicional per al desenroll d'un tractament purament algebraic del producte tensorial. El càlcul de grups d'homologia del producte de dos espais topològics implica el producte tensor; pero només en els casos més senzills, com un toroide, es calcula directament d'eixe modo (vore el teorema de Künneth). Els fenomens topològics eren lo suficientment sotils com per a necessitar millors conceptes fundacionals; tècnicament parlant, calia definir els funtores Tor.

El material a organisar era prou extens, incloent també idees que es remontaven a Hermann Grassmann, les idees de la teoria de formes diferencials que havien conduït a la cohomología de De Rham, aixina com idees més elementals com el producte de falca que generalisa el producte creu.

La redacció resultant del tema, prou severa, per part de Bourbaki, va rebujar per complet un enfocament del càlcul vectorial (la via del cuaternión, és dir, en el cas general, la relació en els grups de Lie), i en el seu lloc, va aplicar un enfocament nou utilisant la teoria de categories, en l'enfocament dels grups de Lie considerat com un assunt aparte. Ya que açò conduïx a un tractament molt més net, provablement no havia tornada arrere en térmens purament matemàtics. (Estrictament, es va invocar l'enfocament de propietats universals; este és alguna cosa més general que la teoria de categories, i la relació entre abdós com a vies alternatives també s'estava aclarint, al mateix temps).

De fet, lo que es va conseguir és essencialment una explicació de per qué els espais tensoriales són les construccions necessàries per a convertir problemes multilineales en problemes llineals. No hi ha cap intuïció geomètrica en este enfocament purament algebraic.

Al reexpresar els problemes en térmens d'àlgebra multilineal, existix una "millor solució" clara i ben definida: les restriccions que eixercix la solució són exactament les que es necessiten en la pràctica. En general, no és necessari invocar cap construcció ad hoc, idea geomètrica o recurs a sistemes de coordenades. En la gerga de la teoria de categories, tot és totalment natural'.

Aplicacions

Física

En la física teòrica, s'utilisen tensors per a descriure magnituts físiques com els tensors de tensió, els camps electromagnètics i els tensors de curvatura en la Teoria General de la Relativitat.

Aprenentage automàtic i anàlisis de senyes

Els tensors també s'utilisen en l'anàlisis de senyes i en l'aprenentage automàtic, especialment en models d'aprenentage profunt com rets neuronals, per a representar estructures de senyes complexes.

Ingenieria

En les ciències de l'ingenieria, els tensors s'utilisen per a descriure les propietats mecàniques dels materials, la mecànica de decorreguts i atres fenomens físics.

Alguns conceptes desenrollats (llista incompleta)

Referències

↑ Greub, W. H. (1967) Multilinear Algebra, Springer
↑ Strang, G. Linear Algebra and Its Applications 2016 (5ª edició), Cengage Learning, 580 pàgines. ISBN: 978-1137592748
↑ Weinberg, S. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity (1972), John Wiley & Sons, 688 pàgines. ISBN: 978-0471925675
↑ Misner, C. W., Thorne, K. S., & Wheeler, J. A. Gravitation (1973), W. H. Freeman, 1279 pàgines. ISBN: 978-0716703440
↑ Kolda, T. G., & Bader, B. W. Tensor Decompositions and Applications SIAM Review, Vol. 51, No. 3, 2009, pp. 455–500. DOI: 10.1137/07070111X
↑ Goodfellow, I., Bengio, I., & Courville, A. Deep Learning (2016), MIT Press, 800 pàgines. ISBN: 978-0262035613
↑ Debreu, G. Theory of Value: An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium (1959), Yale University Press, 128 pàgines. ISBN: 978-0300015591
↑ Alberts, B., et al. Molecular Biology of the Cell 2014 (6ª edició), Garland Science, 1464 pàgines. ISBN: 978-0815344322
↑ Grassmann, Hermann (2000). Teoria de l'extensió, Societat Americana de Matemàtiques. ISBN 978-0 -8218-9049-3.
↑ Fleming, Wendell H.. «Àlgebra exterior i càlcul diferencial», Funcions de vàries variables, 2nd edició, Springer, pp. 275-320. doi:10.1007/978-1-4684-9461-7_7. OCLC 2401829. ISBN 978-1-4684-9461-7.
↑ Schlegel, Victor. System der Raumlehre: Nach donen Prinzipien der Grassmann'schen Ausdehnungslehre und als Einleitung in Dieselbe; Geometrie; Die Gebiete dones Punktes, der Geraden, der Ebene, Forgotten Books. ISBN 978-0-364-22177-8.
↑ “Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications” (1900). Mathematische Annalen 54 (1): 125-201. doi:10.1007/BF01454201. ISSN 1432-1807.
↑ Nicolas Bourbaki (1958) Algèbra Multilinéair, capítul 3 del llibre 2 Àlgebra, en Éléments de mathématique, París: Hermann
↑ Greub, W. Multilinear Algebra (1978) Springer, 232 pàgines. ISBN: 978-0387903075
↑ Bourbaki, Nicolas. Algebre., Hermann. OCLC 25747293.

Bibliografia

Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.
Greub, W. H. (1967) Multilinear Algebra, Springer
Douglas Northcott (1984) Multilinear Algebra, Cambridge University Press ISBN 0-521-26269-0
Shaw, Ronald (1983). Multilinear algebra and group representations (vol. 2), Academic Press. OCLC 59106339. ISBN 978-0-12-639202-9.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Álgebra multilineal» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Greub, W. H. (1967) Multilinear Algebra, Springer

[2] Strang, G. Linear Algebra and Its Applications 2016 (5ª edició), Cengage Learning, 580 pàgines. ISBN: 978-1137592748

[3] Weinberg, S. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity (1972), John Wiley & Sons, 688 pàgines. ISBN: 978-0471925675

[4] Misner, C. W., Thorne, K. S., & Wheeler, J. A. Gravitation (1973), W. H. Freeman, 1279 pàgines. ISBN: 978-0716703440

[5] Kolda, T. G., & Bader, B. W. Tensor Decompositions and Applications SIAM Review, Vol. 51, No. 3, 2009, pp. 455–500. DOI: 10.1137/07070111X

[6] Goodfellow, I., Bengio, I., & Courville, A. Deep Learning (2016), MIT Press, 800 pàgines. ISBN: 978-0262035613

[7] Debreu, G. Theory of Value: An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium (1959), Yale University Press, 128 pàgines. ISBN: 978-0300015591

[8] Alberts, B., et al. Molecular Biology of the Cell 2014 (6ª edició), Garland Science, 1464 pàgines. ISBN: 978-0815344322

[9] Grassmann, Hermann (2000). Teoria de l'extensió, Societat Americana de Matemàtiques. ISBN 978-0 -8218-9049-3.

[10] Fleming, Wendell H.. «Àlgebra exterior i càlcul diferencial», Funcions de vàries variables, 2nd edició, Springer, pp. 275-320. doi:10.1007/978-1-4684-9461-7_7. OCLC 2401829. ISBN 978-1-4684-9461-7.

[11] Schlegel, Victor. System der Raumlehre: Nach donen Prinzipien der Grassmann'schen Ausdehnungslehre und als Einleitung in Dieselbe; Geometrie; Die Gebiete dones Punktes, der Geraden, der Ebene, Forgotten Books. ISBN 978-0-364-22177-8.

[12] “Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications” (1900). Mathematische Annalen 54 (1): 125-201. doi:10.1007/BF01454201. ISSN 1432-1807.

[13] Nicolas Bourbaki (1958) Algèbra Multilinéair, capítul 3 del llibre 2 Àlgebra, en Éléments de mathématique, París: Hermann

[14] Greub, W. Multilinear Algebra (1978) Springer, 232 pàgines. ISBN: 978-0387903075

[15] Bourbaki, Nicolas. Algebre., Hermann. OCLC 25747293.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]