Transformació natural

En teoria de categories, una branca de les matemàtiques, una transformació natural proporciona una manera de convertir un funtor en un atre, mentres que es respecta l'estructura interna (és dir, la composició de morfismos) de les categories implicades. Per lo tant, una transformació natural es pot considerar com un morfismo de funtores. De fet, esta intuïció pot formalisar-se per a definir les cridades categories de funtores. Les transformacions naturals són, despuix de les categories i dels funtores, una de les nocions més bàsiques de l'àlgebra categòrica i per lo tant apareixen en la majoria dels seus usos.

Definició

Si F i G són funtores (covariants) entre les categories C i D, llavors una transformació natural η de F a G associa a cada objecte X en C un morfismo η_X : F(X) → G(X) en D, tal que per a cada morfismo f : X → I en C es té que

η_I o F(f) = G(f) o η_X.

Esta equació es pot expressar convenientment pel diagrama conmutativo

Si η és una transformació natural de F a G, s'escriu també η: F → G.

Si, per a cada objecte X en C, el morfismo η_X és un isomorfisme en D, llavors η es diu un isomorfisme natural (o a voltes una equivalència natural o isomorfisme de funtores). Dos funtores F i G es diuen naturalment isomorfos o simplement isomorfos si existix un isomorfisme natural de F a G.

Eixemples

Grup opost

Vore també: Grup opost

Declaracions com "Tot grup és naturalment isomorfo al seu grup opost" abunden en matemàtiques modernes. Ara es va a donar el significat exacte d'esta declaració aixina com la seua demostració. Considere's la categoria Grp de tots els grups en homomorfismes de grup com morfismos. Si (G,*) és un grup, es definix el seu grup opost (G^op, *^op) com seguix: G^op és el mateix conjunt que G, i l'operació *^op és definida per a*^opb = b*a. Totes les multiplicacions en G^op "es donen aixina el regrés". La formació del grup opost es convertix en un funtor de Grp a Grp si es definix f^op = f per a cada homomorfisme de grup f: G → H. Observe's que f^op és de fet un homomorfisme de grup de G^op en H^op:

f^op(a*^opb) = f(b*a) = f(b)*f(a) = f^op(a)*^opf^op(b).

El contingut de la declaració antedicha és: el funtor identitat Aneu_Grp: Grp → Grp és naturalment isomorfo al funtor opost -^op: Grp → Grp. Per a provar açò, es necessita proporcionar isomorfismes η_G: G → G^op per a cada grup G, tal que el diagrama antedicho commuta. Faça's η_G(a) = a^-1. Les fòrmules (ab)^-1 = b^-1 a^-1 i (a^-1)^-1 = a demostren que η_G és un homomorfisme de grup que és el seu propi invers. Per a provar la naturalitat, es comença en un homomorfisme de grup f: G → H η_H o f = f^op o η_G, és dir (f(a))^-1 = f^op(a^-1) para tot a en G. Açò és veritat posat que f^op = f i cada homomorfisme de grup té la propietat (f(a))^-1 = f(a^-1).

Mòduls

Siga $\phi :M⟶M^{\prime }$ un homomorfisme de mòdul $R$ de mòduls a la dreta. Per a cada mòdul a l'esquerra $N$ existix una aplicació natural $\phi \otimes N:M{\otimes }_{R}N⟶M^{\prime }{\otimes }_{R}N$, que forma una transformació natural $\eta :M{\otimes }_R-⟹M^{\prime }{\otimes }_R-$. Per a cada mòdul a la dreta $N$ existix una aplicació natural ${\eta }_N:{\text{Hom}}_R(M^{\prime },N)⟶{\text{Hom}}_R(M,N)$ definida per ${\eta }_N(f)=f\phi$, forma una transformació natural $\eta :{\text{Hom}}_R(M^{\prime },-)⟹{\text{Hom}}_R(M,-)$.

Abelianización

Donat un grup $G$, es pot definir el seu subgrup commutador $G^{\text{ab}}=G/$ $[G,G]$. Deixar

${\pi }_G:G\to G^{\text{ab}}$ denota l'aplicació de proyecció sobre les classes laterals de $[G,G]$. Este homomorfisme és "natural en $G$", és dir, definix una transformació natural, que ara es comprova. Siga $H$ un grup. Per a qualsevol homomorfisme $f:G\to H$, es té que $[G,G]$ està contingut en el núcleu de ${\pi }_H\circ f$, perque qualsevol homomorfisme en un grup abeliano elimina al subgrup del commutador. Llavors ${\pi }_H\circ f$ factoriza $G^{\text{ab}}$ com $f^{\text{ab}}\circ {\pi }_G={\pi }_H\circ f$ per a l'homomorfisme únic $f^{\text{ab}}:G^{\text{ab}}\to H^{\text{ab}}$. Açò fa que $\text{ab}:\mathbf{\text{𝐆𝐫𝐩}}\to \mathbf{\text{𝐆𝐫𝐩}}$ siga un functor i $\pi$ és una transformació natural, pero no un isomorfisme natural, del functor identitat a $\text{ab}$.

Homomorfisme de Hurewicz

Els functores i les transformacions naturals abunden en topología algebraica, sent els homomorfismes de Hurewicz un eixemple. Per a qualsevol espai topològic puntado $(X,x)$ i sancer positiu $n$ existix un homomorfisme de grups

$h_n:{\pi }_n(X,x)\to H_n(X)$

des de el $n$-ésimo grup de homotopía de $(X,x)$ fins a el $n$-ésimo grup d'homologia de $X$. Tant ${\pi }_n$ com $H_n$ són funtores de la categoria Top^* d'espais topològics verticiales a la categoria Grp de grups, i $h_n$ és una transformació natural de ${\pi }_n$ a $H_n$.

Determinant

Vore també: Determinant (matemàtica)

Donats els anells conmutativos $R$ i $S$ en un homomorfisme d'anells $f:R\to S$, els respectius grups de matrius invertibles $n\times n$ ${\text{GL}}_n(R)$ i ${\text{GL}}_n(S)$ hereten un homomorfisme que es denota per ${\text{GL}}_n(f)$, obtingut aplicant $f$ a cada entrada de la matriu. De manera similar, $f$ es restringix a un homomorfisme de grup $f^{*}:R^{*}\to S^{*}$, a on $R^{*}$ denota l'unitat de $R$. De fet, ${\text{GL}}_n$ i $*$ són functores de la categoria d'anells conmutativos $\mathbf{\text{𝐂𝐑𝐢𝐧𝐠}}$ a $\mathbf{\text{𝐆𝐫𝐩}}$. El determinant en el grup ${\text{GL}}_n(R)$, denotat per ${\text{det}}_R$, és un homomorfisme de grup.

${\text{det}}_R:{\text{GL}}_n(R)\to R^{*}$

que és natural en $R$ degut a que el determinant està definit per la mateixa fòrmula per a cada anell, $f^{*}\circ {\text{det}}_R={\text{det}}_S\circ {\text{GL}}_n(f)$ es complix. Açò fa que el determinant siga una transformació natural de ${\text{GL}}_n$ a $*$.

Doble dual d'un espai vectorial

Per eixemple, si $K$ és un cos, llavors per a cada espai vectorial $V$ sobre $K$ es té una aplicació llineal inyectiva $V\to V^{**}$ "natural" des de l'espai vectorial fins al seu dual doble. Estes aplicacions són "naturals" en el següent sentit: l'operació dual doble és un funtor, i les aplicacions són els components d'una transformació natural del funtor identitat al functor dual doble.

Càlcul finito

Per a cada grup abeliano $G$, el conjunt ${\text{Hom}}_{\mathbf{\text{𝐒𝐞𝐭}}}(\mathbb{Z},U(G))$ de funcions des dels número entero fins al conjunt subjacent de $G$ forma un grup abeliano $V_{\mathbb{Z}}(G)$ baixe la suma puntual (ací, $U$ és el funtor olvidable $U:\mathbf{\text{𝐀𝐛}}\to \mathbf{\text{𝐒𝐞𝐭}}$ estàndart). Donat un morfismo $\mathbf{\text{𝐀𝐛}}$ $\phi :G\to G^{\prime }$, l'aplicació $V_{\mathbb{Z}}(\phi ):V_{\mathbb{Z}}(G)\to V_{\mathbb{Z}}(G^{\prime })$ donada per l'esquerra que compon $\phi$ en els elements del primer és en sí mateixa un homomorfisme de grups abelianos; d'esta manera s'obté un funtor $V_{\mathbb{Z}}:\mathbf{\text{𝐀𝐛}}\to \mathbf{\text{𝐀𝐛}}$. L'operador de diferències finitas ${\Delta }_G$ prenent cada funció $f:\mathbb{Z}\to U(G)$ a $\Delta (f):n\mapsto f(n+1)-f(n)$ és una aplicació de $V_{\mathbb{Z}}(G)$ sobre sí mateixa, i la colecció $\Delta$ de dites aplicacions dona una transformació natural $\Delta :V_{\mathbb{Z}}\to V_{\mathbb{Z}}$.

Adjunción homomórfica tensorial

Vore també: Adjunción homomórfica tensorial i Funtores adjunts

Considere's la categoria $\mathbf{\text{𝐀𝐛}}$ de grups abelianos i homomorfismes de grup. Per a tots els grups abelianos $X$, $Y$ i $Z$ es té un isomorfisme de grup

$\text{Hom}(X\otimes Y,Z)\to \text{Hom}(X,\text{Hom}(Y,Z))$.

Estos isomorfismes són "naturals" en el sentit de que definixen una transformació natural entre els dos funtores involucrats ${\mathbf{\text{𝐀𝐛}}}^{\text{op}}\times {\mathbf{\text{𝐀𝐛}}}^{\text{op}}\times \mathbf{\text{𝐀𝐛}}\to \mathbf{\text{𝐀𝐛}}$ (ací, "op" és la categoria oposta de $\mathbf{\text{𝐀𝐛}}$, que no deu confondre's en el funtor grup opost trivial en $\mathbf{\text{𝐀𝐛}}$).

Esta és formalment l'adjunción homomórfica tensorial, un eixemple arquetípico d'un parell de funtores adjunts. Les transformacions naturals sorgixen freqüentment junt en els funtores adjunts i, de fet, els functores adjunts es definixen per un cert isomorfisme natural. Ademés, cada parell de funtores adjunts ve equipat en dos transformacions naturals (generalment no isomorfismes) cridades unitat i counidad.

Isomorfisme antinatural

Vore també: Aplicació canònica

La noció de transformació natural és categòrica i establix (informalmente) que una aplicació particular entre funtores es pot realisar de manera consistent en una categoria completa. De manera informal, una aplicació particular (especialment un isomorfisme) entre objectes individuals (no categories completes) es denomina isomorfisme natural, lo que significa implícitament que en realitat està definit en tota la categoria i definix una transformació natural de funtores. Formalisar esta intuïció va ser un factor motivador en el desenroll de la teoria de categories.

Pel contrari, una aplicació particular entre objectes particulars pot denominar-se isomorfisme antinatural (o "un isomorfisme que no és natural") si l'aplicació no pot estendre's a una transformació natural en tota la categoria. Donat un objecte $X,$, un funtor $G$ (prenent per simplicitat el primer funtor com l'identitat) i un isomorfisme $\eta :X\to G(X),$ la prova de antinaturalidad es mostra més fàcilment donant un automorfisme $A:X\to X$ que no commuta en este isomorfisme (per lo tant, $\eta \circ A\ne G(A)\circ \eta$). Més concretament, si es desija demostrar que $X$ i $G(X)$ no són naturalment isomorfos, sense fer referència a un isomorfisme particular, açò requerix demostrar que per a "qualsevol" isomorfisme $\eta$, hi ha algun $A$ en el que no commuta. En alguns casos, un únic automorfisme $A$ funciona per a tots els isomorfismes candidats $\eta$, mentres que en atres casos es deu mostrar cóm construir un $A_{\eta }$ diferent per a cada isomorfisme. Les aplicacions de la categoria juguen un paper crucial: qualsevol transformació infranatural és natural si els úniques aplicacions són l'aplicació d'identitat, per eixemple.

Açò és similar (pero més categòric) als conceptes de la teoria de grups o la teoria de mòduls, a on una descomposició donada d'un objecte en una suma directa no és natural, o més be no és única, ya que existixen automorfismes que no preserven la suma directa. descomposició de la suma.

Alguns autors distinguixen la notació, utilisant $\cong$ per a un isomorfisme natural i $\approx$ per a un isomorfisme no natural, reservant $=$ per a l'igualtat (normalment igualtat d'aplicacions).

Eixemple: grup fonamental dels bous

Com a eixemple de la distinció entre l'enunciat funtorial i els objectes individuals, consideren-se els grups de homotopía d'un espai producte, específicament el grup fonamental del bou.

Els grups de homotopía d'un espai de productes són naturalment el producte dels grups de homotopía dels components, ${\pi }_n((X,x_0)\times (Y,y_0))\cong {\pi }_n((X,x_0))\times {\pi }_n((Y,y_0)),$ en l'isomorfisme donat per la proyecció sobre els dos factors, fonamentalment perque les aplicacions en un espai de productes són exactament productes de les aplicacions en els components, lo que constituïx una declaració funtorial.

No obstant, el bou (que és abstractamente un producte de dos círculs) té un grup fonamental isomorfo a $Z^2$, pero la divisió de ${\pi }_1(T,t_0)\approx 𝐙\times 𝐙$ no és natural. Tinga's en conte l'us de $\approx$, $\cong$ i $=$:

${\pi }_1(T,t_0)\approx {\pi }_1(S^1,x_0)\times {\pi }_1(S^1,y_0)\cong 𝐙\times 𝐙={𝐙}^2.$

Este isomorfisme abstracte en un producte no és natural, ya que alguns isomorfismes de $T$ no preserven el producte: el autohomeomorfismo de $T$ (considerat com espai cocient $R^2/{\mathbb{Z}}^2$) donat per $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ (geomètricament un gir de Dehn sobre una de les curves generadores) actua com esta matriu en ${\mathbb{Z}}^2$ (està en el grup llineal general $\text{GL}(\mathbb{Z},2)$ de matrius sanceres invertibles), que no conserva la descomposició com a producte perque no és diagonal. No obstant, si es dona el bou com el producte $(T,t_0)=(S^1,x_0)\times (S^1,y_0)$ (de manera equivalent, donada una descomposició de l'espai), llavors la divisió del grup se seguix de l'afirmació general anterior. En térmens categòrics, la categoria rellevant (que preserva l'estructura d'un espai de producte) és "aplicacions d'espais de productes, és dir, un parell d'aplicacions entre els respectius components".

La naturalitat és una noció categòrica i requerix ser molt precís sobre quines senyes es donen exactament: el bou com un espai que resulta ser un producte (en la categoria d'espais i aplicacions continus) és diferent del bou presentat com un producte (en la categoria de productes de dos espais i aplicacions contínues entre els respectius components).

Eixemple: dual d'un espai vectorial de dimensió finita

Tot espai vectorial de dimensió finita és isomorfo al seu espai dual, pero pot haver molts isomorfismes diferents entre els dos espais. En general, no existix un isomorfisme natural entre un espai vectorial de dimensió finita i el seu espai dual. No obstant, les categories relacionades (en estructura adicional i restriccions en les aplicacions) tenen un isomorfisme natural, com es descriu a continuació.

L'espai dual d'un espai vectorial de dimensió finita és novament un espai vectorial de dimensió finita de la mateixa dimensió i, per lo tant, són isomòrfics, ya que la dimensió és l'únic invariante dels espais vectorials de dimensió finita en un camp donat. No obstant, en absència de restriccions adicionals (com el requisit de que les aplicacions preserven la base elegida), l'aplicació d'un espai al seu dual no és únic i, per lo tant, tal isomorfisme requerix una elecció i "no és natural". En la categoria d'espais vectorials de dimensió finita i aplicacions llineals, es pot definir un isomorfisme infranatural d'espais vectorials al seu dual elegint un isomorfisme per a cada espai (pose's per cas, elegint una base per a cada espai vectorial i prenent l'isomorfisme corresponent), pero açò no definirà una transformació natural. Intuitivamente açò es deu a que va requerir una elecció, rigorosament perque "qualsevol" elecció d'isomorfismes no commutarà en, per eixemple, l'aplicació zero (consulte's Plantilla:Harv per a una discussió detallada).

A partir d'espais vectorials de dimensió finita (com a objectes) i els funtores identitat i duals, es pot definir un isomorfisme natural, pero açò requerix primer agregar una estructura adicional i després restringir les aplicacions de "tots les aplicacions llineals" a "aplicacions llineals que respecten este estructura". Explícitament, per a cada espai vectorial, es requerix que venja en les senyes d'un isomorfisme al seu dual, ${\eta }_V:V\to V^{*}$. En atres paraules, es prenen com a objectes espais vectorials en una forma bilineal no degenerada $b_V:V\times V\to K$. Açò definix un isomorfisme infranatural (isomorfisme per a cada objecte). Llavors es restringixen les aplicacions solament a aquelles aplicacions $T:V\to U$ que commuten en els isomorfismes: $T^{*}({\eta }_U(T(v)))={\eta }_V(v)$ o, en atres paraules, preserven la forma bilineal: $b_U(T(v),T(w))=b_V(v,w)$ (estes aplicacions definixen el naturalizador dels isomorfismes). La categoria resultant, en objectes d'espais vectorials de dimensió finita en una forma bilineal no degenerada, i aplicacions de transformacions llineals que respecten la forma bilineal, per construcció té un isomorfisme natural de l'identitat al dual (cada espai té un isomorfisme en el seu dual, i les aplicacions de la categoria deuen commutar). Vista des d'esta perspectiva, esta construcció (agregar transformacions per a cada objecte, restringir aplicacions per a commutar en ells) és completament general i no depén de cap propietat particular dels espais vectorials.

En esta categoria (espais vectorials de dimensió finita en una forma bilineal no degenerada, transformacions llineals d'aplicacions que respecten la forma bilineal), el dual d'una aplicació entre espais vectorials es pot identificar com la matriu transpuesta. A sovint, per raons d'interés geomètric, açò s'especialisa en una subcategoría, en requerir que les formes bilineales no degeneradas tinguen propietats adicionals, com ser simètriques (matriu ortogonal), simètriques i definides positives (espai producte interior), sesquilineales simètriques (espais hermíticos), o antisimètriques i totalment isotrópicas (espai vectorial simpléctico entre atres). En totes estes categories un espai vectorial s'identifica naturalment en el seu dual, per la forma bilineal no degenerada.

Operacions en transformacions naturals

Composició horisontal i vertical de transformacions naturals

Composició vertical

Si $\eta :F\Rightarrow G$ i $ϵ:G\Rightarrow H$ són transformacions naturals entre els funtores $F,G,H:C\to D$, llavors es pot compondre'ls per a obtindre una transformació natural $ϵ\circ \eta :F\Rightarrow H$. Açò es fa per components:

$(ϵ\circ \eta {)}_X={ϵ}_X\circ {\eta }_X$.

Esta composició vertical de transformacions naturals és associativa i té una identitat, i permet considerar la colecció de tots els funtores $C\to D$ com una categoria (vore més avall en Categories funtoriales). La transformació natural d'identitat ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_F$ en el funtor $F$ té components $({\mathrm{i}\mathrm{d}}_F{)}_X={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{F(X)}$.

Per a $\eta :F\Rightarrow G$, ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_G\circ \eta =\eta =\eta \circ {\mathrm{i}\mathrm{d}}_F$.

Composició horisontal

Si $\eta :F\Rightarrow G$ és una transformació natural entre els funtores $F,G:C\to D$ i $ϵ:J\Rightarrow K$ és una transformació natural entre els funtores $J,K:D\to E$, llavors la composició de funtores permet una composició de transformacions naturals $ϵ*\eta :J\circ F\Rightarrow K\circ G$ en components

$(ϵ*\eta {)}_X={ϵ}_{G(X)}\circ J({\eta }_X)=K({\eta }_X)\circ {ϵ}_{F(X)}$.

Usant el bigoteo (vore més avall), es pot escriure

$(ϵ*\eta {)}_X=(ϵG{)}_X\circ (J\eta {)}_X=(K\eta {)}_X\circ (ϵF{)}_X$,

per això

$ϵ*\eta =ϵG\circ J\eta =K\eta \circ ϵF$.

Esta composició horisontal de transformacions naturals també és associativa en l'identitat, que és a la seua volta la transformació natural d'identitat sobre el funtor, és dir, la transformació natural que associa a cada objecte el seu morfismo: per a l'objecte $X$ en la categoria $C$, $({\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{\mathrm{i}\mathrm{d}}_C}{)}_X={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{\mathrm{i}\mathrm{d}}_C(X)}={\mathrm{i}\mathrm{d}}_X$.

Per a $\eta :F\Rightarrow G$ en $F,G:C\to D$, ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{\mathrm{i}\mathrm{d}}_D}*\eta =\eta =\eta *{\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{\mathrm{i}\mathrm{d}}_C}$.

Com els funtores d'identitat ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_C$ i ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_D$ també són funtores, l'identitat per a la composició horisontal també és l'identitat per a la composició vertical, pero no al revés.

Bigoteo

El bigoteo és una operació binaria entre un funtor i una transformació natural.

Si $\eta :F\Rightarrow G$ és una transformació natural entre els funtores $F,G:C\to D$ i $H:D\to E$ és un atre funtor, llavors es pot formar la transformació natural $H\eta :H\circ F\Rightarrow H\circ G$ definint

$(H\eta {)}_X=H({\eta }_X)$.

Si per un atre costat $K:B\to C$ és un funtor, la transformació natural $\eta K:F\circ K\Rightarrow G\circ K$ es definix per

$(\eta K{)}_X={\eta }_{K(X)}$.

També és una composició horisontal a on una de les transformacions naturals és la transformació natural de l'identitat:

$H\eta ={\mathrm{i}\mathrm{d}}_H*\eta$ i $\eta K=\eta *{\mathrm{i}\mathrm{d}}_K$.

Tinga's en conte que ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_H$ (respectivament, ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_K$) generalment no és l'identitat esquerra (respectivament, dreta) de la composició horisontal $*$ ($H\eta \ne \eta$ i $\eta K\ne \eta$ en general), excepto si $H$ (resp. $K$) és el funtor de la categoria $D$ (respectivament, $C$).

Llei d'intercanvi

Les dos operacions estan relacionades per una identitat que intercanvia la composició vertical en la composició horisontal: si es tenen quatre transformacions naturals $\alpha ,{\alpha }^{\prime },\beta ,{\beta }^{\prime }$ com es mostra en l'image de la dreta, llavors es complix la següent identitat:

$({\beta }^{\prime }\circ {\alpha }^{\prime })*(\beta \circ \alpha )=({\beta }^{\prime }*\beta )\circ ({\alpha }^{\prime }*\alpha )$.

Les composicions verticals i horisontals també estan vinculades a través de transformacions naturals d'identitat:

per a $F:C\to D$ i $G:D\to E$, ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_G*{\mathrm{i}\mathrm{d}}_F={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{G\circ F}$.

Com el bigoteo és una composició horisontal en l'identitat, la llei d'intercanvi dona immediatament les fòrmules compactes de composició horisontal de $\eta :F\Rightarrow G$ i $ϵ:J\Rightarrow K$ sense tindre que analisar components i el diagrama conmutativo:

$\begin{array}{cc}ϵ*\eta & =(ϵ\circ {\mathrm{i}\mathrm{d}}_J)*({\mathrm{i}\mathrm{d}}_G\circ \eta )=(ϵ*{\mathrm{i}\mathrm{d}}_G)\circ ({\mathrm{i}\mathrm{d}}_J*\eta )=ϵG\circ J\eta \\ & =({\mathrm{i}\mathrm{d}}_K\circ ϵ)*(\eta \circ {\mathrm{i}\mathrm{d}}_F)=({\mathrm{i}\mathrm{d}}_K*\eta )\circ (ϵ*{\mathrm{i}\mathrm{d}}_F)=K\eta \circ ϵF\end{array}$.

Categories funtoriales

Artícul principal → Categories funtoriales.

Si $C$ és qualsevol categoria i $I$ és una categoria menuda, es pot formar la categoria funtorial $C^I$ tenint com a objectes tots els funtores des de $I$ a $C$ i com morfismos les transformacions naturals entre eixos funtores. Açò forma una categoria ya que per a qualsevol funtor $F$ hi ha una transformació natural d'identitat $1_F:F\to F$ (que assigna a cada objecte $X$ el morfismo d'identitat en $F(X)$) i la composició de dos transformacions naturals (la "composició vertical" anterior) és novament una transformació natural.

Els isomorfismes en $C^I$ són precisament els isomorfismes naturals. És dir, una transformació natural $\eta :F\to G$ és un isomorfisme natural si i solament si existix una transformació natural $ϵ:G\to F$ tal que $\eta ϵ=1_G$ i $ϵ\eta =1_F$.

La categoria de funtor $C^I$ és especialment útil si $I$ sorgix d'un grafo dirigit. Per eixemple, si $I$ és la categoria del grafo dirigit Plantilla:Nobreak, llavors $C^I$ té com a objectes els morfismos de $C$, i un morfismo entre $\varphi :U\to V$ i $\psi :X\to Y$ en $C^I$ és un parell de morfismos $f:U\to X$ i $g:V\to Y$ en $C$ tals que el "quadrat commuta", és dir, $\psi \circ f=g\circ \varphi$.

De manera més general, es pot construir la 2-categoria $\mathbf{\text{𝐂𝐚𝐭}}$ que les seues

• 0 celes (objectes) són les categories menudes,
• 1 celes (fleches) entre dos objectes $C$ i $D$ són els functores de $C$ a $D$,

• 2 celes entre dos 1 celes (funtores) $F:C\to D$ i $G:C\to D$ són les transformacions naturals de $F$ a $G$.

Les composicions horisontals i verticals són les composicions entre transformacions naturals descrites anteriorment. Una categoria de funtor $C^I$ és llavors simplement una categoria homomórfica en esta categoria (aparte de les qüestions de pequeñez).

Més eixemples

Cada llímit i colímite proporciona un eixemple d'una transformació natural simple, ya que un con equival a una transformació natural en un funtor diagonal com a domini. De fet, si els llímits i colímites es definixen directament en térmens del seu propietat universal, són morfismos universals en una categoria de funtor.

Lema de Yoneda

Artícul principal → Lema de Yoneda.

Si $X$ és un objecte de categoria $C$, llavors l'assignació $Y\mapsto {\text{Hom}}_C(X,Y)$ definix un funtor covariant $F_X:C\to \mathbf{\text{𝐒𝐞𝐭}}$. Este funtor es diu representable (de manera més general, un funtor representable és qualsevol funtor naturalment isomorfo a este funtor per a una elecció adequada de $X$). Les transformacions naturals d'un funtor representable a un funtor arbitrari $F:C\to \mathbf{\text{𝐒𝐞𝐭}}$ són completament conegudes i fàcils de descriure, d'acort en les conclusions del lema de Yoneda.

Notes històriques

Es diu que Saunders Mac Lane, un dels fundadors de la teoria de categories, va comentar: "No vaig inventar les categories per a estudiar funtores; les vaig inventar per a estudiar les transformacions naturals". Aixina com l'estudi dels grups no està complet sense un estudi dels homomorfismes, l'estudi de les categories no està complet sense l'estudi dels funtorés. La raó del comentari de Mac Lane és que l'estudi dels funtores no està complet sense l'estudi de les transformacions naturals.

El context del comentari de Mac Lane va ser la teoria axiomàtica de les homologia. Es podria demostrar que coincidixen diferents formes de construir homologia: per eixemple, en el cas d'un complex simplicial, els grups definits directament serien isomorfos als de la teoria singular. Lo que no es pot expressar fàcilment sense el llenguage de les transformacions naturals és cóm els grups d'homologia són compatibles en els morfismos entre objectes, i cóm dos teories d'homologia equivalents no solament tenen els mateixos grups d'homologia, sino també els mateixos morfismos entre els grups donats.

Vore també

• Transformació extranatural
• Propietat universal
• Teoria de categoria superior