Forma bilineal no degenerada

En matemàtiques, específicament en àlgebra llineal, una forma bilineal no-degenerada f (x, i ) en un espai vectorial V és una forma bilineal tal que l'aplicació de V a V^∗ (l'espai dual de V ) donada per v ↦ (x ↦ f (x,  v )) és un isomorfisme. Una definició equivalent quan V és finita-dimensional és que té un núcleu trivial: no existix alguna x distinta de zero en V tal que

$\mathrm{\exists }x:f(x,y)=0$ per a tots els $y\in V.$

Una forma bilineal que no siga no-degenerada, es diu forma bilineal degenerada.

Introducció

Una forma no degenerada o no nsingular és una forma bilineal que no és degenerada, lo que significa que $v\mapsto (x\mapsto f(x,v))$ és un isomorfisme, o equivalentemente en dimensions finitas, si i solament si

$f(x,y)=0$ per a tots els $y\in V$ implica que $x=0$.

Els eixemples més importants de formes no degeneradas són producte interns i forma simplécticas. Les formes simètriques no degeneradas són generalisacions importants dels productes interns, ya que a sovint tot lo que es requerix és que el mapa $V\to V^{*}$ ser un isomorfisme, no positividad. Per eixemple, una varietat diferenciable en una estructura de producte interna en el seu espai tangentes és una varietat riemanniana, mentres que relaixant açò a una forma simètrica no degenerada produïx una varietat pseudo-riemanniana.

Us del determinant

Si V és finito-dimensional llavors, en relació en alguna bases per a V, una forma bilineal es degenera si i solament si el determinant de la matriu associada és zero – si i solament si la matriu és singular, i en conseqüència les formes degeneradas també es diuen formes singulars. De la mateixa manera, una forma no degenerada és aquella per a la qual la matriu associada és no singular, i en conseqüència les formes no degeneradas també es denominen "formes no singulars". Estes declaracions són independents de la base elegida.

Referències

Bibliografia

• (1992).«Algebra: An Approach via Module Theory».Springer-Verlag.136
• (1970).«Algebra».Springer.
• (2010).«Advanced Linear Algebra».CRC Press.

249–88.

• (1997).«Groups and characters».Wiley-Interscience.
• (1974).«Finite-dimensional vector spaces».Springer-Verlag.Berlin, New York:
• (1990).«Spinors and calibrations».Academic Press.

19–40.

• (1987).«Bilinear form».Kluwer Academic Publishers.1

390–392.. Also: Forma bilineal no degenerada, p. 390, en Google Libros

• (2009).«Basic Algebra».I
• (1973).«Symmetric Bilinear Forms».Springer-Verlag.73
• (1995).«Clifford Algebras and the Classical Groups».Cambridge University Press.50
• (2012).«Linear Algebra and Geometry».Springer.
• (1977).«Linear Algebra».Dover.
• (2006).«Principal Structures and Methods of Representation Theory».American Mathematical Society.