Forma bilineal

En matemàtiques, una forma bilineal sobre un espai vectorial $V$ és una aplicació bilineal $V\times V\to K$, a on $K$ és el cos d'escalares. En atres paraules, una forma bilineal és una funció que associa un escalar a cada parell de vectores, tal que és llineal en cada u dels seus arguments per separat.

Quan $K$ és el cos de número complex $ℂ$, és més interessant parlar de formes sesquilineales, que són similars a les formes bilineales, pero són conjugades llineals en un argument.

Definició

Donats un cos K i un K-espai vectorial V, una forma bilineal és una aplicació

$f:V\times V\to K$

que verifica:

• $f(u_1+u_2,v)=f(u_1,v)+f(u_2,v)$
• $f(u,v_1+v_2)=f(u,v_1)+f(u,v_2)$
• $f(au,v)=af(u,v)$
• $f(u,av)=af(u,v)$

per a qualsevol $a\in K$ i $u,v,u_1,u_2,v_{1}y{v}_2\in V$

També es pot definir una forma bilineal com un cas particular d'una forma multilineal, en particular com un tensor de tipo (2, 0).

Eixemples

• El producte escalar en l'espai euclideo és una forma bilineal. En particular, daus dos vectores en el pla bidimensional ${ℝ}^2$ de la forma $u=(a,b)$ i $v=(c,d)$, el seu producte escalar ve dau per:

  $⟨u,v⟩=ac+bd$

  que es pot verificar que és una forma bilineal.
• El determinant d'una matriu quadrada de dimensió dos és una forma bilineal, sobre els vectores columna de la matriu. Daus dos vectores en el pla bidimensional ${ℝ}^2$, $u=(a,b)$ i $v=(c,d)$, i siga

  $M=\left[\begin{array}{cc}u& v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]$

  es definix

  $f:{ℝ}^2\times {ℝ}^2⟶ℝ,f(u,v)=ad-bc$

  denotat més comunament per

  $\det (M)=ad-bc$.

Propietats

De la definició es tenen les següents propietats:

• $f(u,0)=f(0,u)=0$
• $f(-u,v)=f(u,-v)=-f(u,v)$
• $f(\sum _i{a}_i{u}_i,\sum _j{b}_j{v}_j)=\sum _i\sum _j{a}_i{b}_{j}f(u_i,v_j)$

per a tot $a\in K$ i $u,v,u_1,u_2,v_1,v_2\in V$

Vore també

• Forma quadràtica
• Tensor