Espai prehilbertiano

Plantilla:Espai matemàtic 3 En matemàtiques, un espai prehilbertiano o espai prehilbert és un espai vectorial proveït d'un producte escalar. Més concretament, és un parell $(V,⟨\cdot |\cdot ⟩)$, a on $V$ és un espai vectorial sobre un cos $𝕂$ i $⟨\cdot |\cdot ⟩$ és un producte escalar en $V$.

L'espai prehilbertiano és un tipo d'espai mètric en la mètrica induïda per la norma que com vorem pot definir-se a partir del producte escalar.

Un espai prehilbertiano que ademés siga un espai complet, es dirà que és un espai de Hilbert o hilbertiano. Si és de dimensió finita es dirà que és espai euclídeo.

Una condició necessària per a que un espai prehilbertiano siga un espai de Hilbert és que el cos base $𝕂$ siga $ℝ$ o $ℂ$, aixina cap espai prehilbertiano sobre $\mathbb{Q}$ pot ser un espai de Hilbert.

Definicions

Formalment, un espai prehilbertiano és un espai vectorial V sobre un cos K (Pot ser $ℝ$ o $ℂ$), el qual posseïx una operació definida en la següent funció:

$⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to 𝐊$

cridada producte escalar, que satisfà certs axioma:

• Hermítica.

$\mathrm{\forall }x,y\in V,⟨x,y⟩=\overline{⟨y,x⟩}.$

Note's que si $K=ℝ$, la propietat de hermítica és la simetria ordinària:

$⟨x,y⟩=⟨y,x⟩.$

Esta condició implica que $⟨x,x⟩\in ℝ$ para tot $x\in V$, perque $⟨x,x⟩=\overline{⟨x,x⟩}$.

• Sesquilineal:

$\mathrm{\forall }a\in K,\mathrm{\forall }x,y\in V,⟨ax,y⟩=a⟨x,y⟩.$

$\mathrm{\forall }x,y,z\in V,⟨x+y,z⟩=⟨x,z⟩+⟨y,z⟩.$

Combinant esta propietat en la de ser hermítica:

$\mathrm{\forall }b\in K,\mathrm{\forall }x,y\in V,⟨x,by⟩=\bar{b}⟨x,y⟩.$

$\mathrm{\forall }x,y,z\in V,⟨x,y+z⟩=⟨x,y⟩+⟨x,z⟩.$

En el cas de que el cos siga $ℝ$ esta propietat implica que el producte escalar és bilineal.

• Definida positiva:

$\mathrm{\forall }x\in V,⟨x,x⟩\ge 0.$ (Té sentit, ya que $⟨x,x⟩\in ℝ$ para tot $x\in V$.)

Ademés, l'únic vector que en fer el producte escalar en ell mateixa és zero, és el vector nul, és dir:

$⟨x,x⟩=0\iff x=0.$

Normes en espais prehilbertianos

En els espais en producte escalar es definix una norma

$\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}.$

La norma està ben definida, per ser sempre el producte escalar d'un vector per sí mateixa un número real major o igual que zero. En espais euclídeos definix la "llongitut" del vector x. Ademés es tracta d'una norma per complir les condicions:

• $\Vert x\Vert$ és sempre positiva i val zero si i solament si x val zero.

• Homogeneïtat: per a tot vector x i r un escalar:

$\Vert r\cdot x\Vert =|r|\cdot \Vert x\Vert .$

• Desigualtat triangular: per a tot vector x i i

$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert .$

Usant els axioma ya mencionats podem demostrar les següents teoremes:

• Desigualtat de Cauchy-Schwarz: per a x, i elements en V

$|⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$

l'igualtat es complix si i solament si x i i són linealment depenents

Esta és una de la més importants desigualtats en la matemàtica. També és coneguda en la lliteratura matemàtic russa com la desigualtat Cauchy-Bunyakowski-Schwarz

La prova d'esta teorema i les seues aplicacions poden trobar-se en l'artícul sobre la desigualtat de Cauchy-Schwarz

• Llei del paralelogramo:

$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2.$

• Teorema de Pitágoras: Siguen x, i vectores ortogonals, llavors

$\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2=\Vert x+y{\Vert }^2.$

Estes últimes dos identitats només requerixen expressar la definión de la norma en térmens del producte intern, fer les operacions i usar els axioma de norma.

Una fàcil generalisació de la teorema pitagórico que pot ser provada per inducció és la següent:

Si x₁, ..., x_n són vectores ortogonals, o siga, <x_j, x_k> = 0 per a tot j, k distint, llavors

$\sum _{i=1}^n\Vert x_i{\Vert }^2={\Vert \sum _{i=1}^n{x}_i\Vert }^2.$

Vore també

• Espai de Hilbert