Derivada covariant

El transport paralel d'un vector a lo llarc d'una curva tancada sobre l'esfera, que de la mateixa manera que el concepte de derivada covariant es basa en la noció de conexió matemàtica. L'àngul $\alpha$ despuix de recórrer una volta la curva és proporcional a l'àrea dins de la curva.

La derivada covariant (${\mathrm{\nabla }}_i$) és una generalisació del concepte de derivada parcial (${\partial }_i$) que permet estendre el càlcul diferencial sobre ${ℝ}^n$ en coordenades cartesianas al cas de coordenades curvilíneas en ${ℝ}^n$ (i també al cas encara més general de varietats diferenciables).

El nom està motivat per l'importància dels canvis de coordenades en física: la derivada covariant transforma covariantemente baix una transformació de coordenades general, és dir, linealment, a través de la matriu jacobiana de la transformació.

Història

Històricament, a principis del XX, Gregorio Ricci-Curbastro i Tullio Levi-Civita varen introduir la derivada covariant en la teoria de les geometria riemanniana i pseudoriemanniana. Ricci i Levi-Civita (seguint les idees d'Elwin Bruno Christoffel) varen observar que els símbols de Christoffel utilisats per a definir la curvatura també podrien proporcionar una noció de diferencial que generalisara l'idea de derivada direccional clàssica d'un camp vectorial sobre una varietat. Esta nova derivada, la Conexió de Levi-Civita, era covariant en el sentit de que satisfea el requisit de Riemann de que els objectes en geometria devien ser independents de la seua descripció en un sistema de coordenades particular.

Pronte atres matemàtics, entre els que destaquen Hermann Weyl, Jan Arnoldus Schouten i Élie Cartan, es varen donar conte de que una derivada covariant podia definir-se de manera abstracta sense la presència d'una mètrica. La característica crucial no va ser una dependència particular de la mètrica, sino que els símbols de Christoffel complien una certa llei precisa de transformació de segon orde. Esta llei de transformació podria servir com a punt de partida per a definir la derivada de forma covariant. Aixina, la teoria de la diferenciació covariant es va separar del context estrictament riemanniano per a incloure una gama més àmplia de geometria possibles.

En la década de 1940, els investigadors dedicats a l'estudi de la geometria diferencial varen escomençar a introduir atres nocions de diferenciació covariant en fibrados vectorials generals que, a diferència dels paquets clàssics d'interés per als geómetras, no formaven part del camp tensorial de la varietat. En general, estes derivades covariants generalisades varen tindre que ser especificades "ad hoc" per mig d'alguna versió del concepte de conexió. En 1950, Jean-Louis Koszul va unificar estes noves idees de diferenciació covariant en un fes de vectores per mig de lo que hui es coneix com conexió de Koszul o una conexió en un fes de vectores. Utilisant idees del àlgebra de Lie cohomollògica, Koszul va convertir en èxit moltes de les característiques analítiques de la diferenciació covariant en característiques algebraiques. En particular, les conexions de Koszul varen eliminar la necessitat de manipulacions incómodes dels símbols de Christoffel (i d'atres objectes anàlecs no tensoriales) en geometria diferencial. Aixina, ràpidament varen suplantar a la noció clàssica de derivada covariant en molts tractaments del tema posteriors a 1950.

Introducció

S'introduirà primer el cas de ${ℝ}^n$. Suponga's que es tenen n camps vectorials que en cada punt formen una base vectorial $\{{𝐞}_1,\dots {𝐞}_n\}$ i un camp vectorial contravariante adicional $𝐯$ de tal manera que este camp pot expressar-se en térmens de la base anterior:

A on $v^k$ són les components del vector en dita base. Si s'usen coordenades curvilíneas $(x^1,\dots x^n)$, els vectores tangentes a les curves coordenades canvien de punt a punt. Això implica que aun cuando el camp vectorial siga constant en general les seues coordenades en la base elegida no seran constants i en general succeirà que la derivada covariant ($\overline{\partial }$):

Ya que també és necessari considerar la variació d'orientació de la base vectorial en passar d'un punt a un atre, és dir, per a evaluar la derivada (covariant) anterior necessitem evaluar:

A on el terme segon adicional dona conte de cóm canvia la base vectorial en recórrer una llínea coordenada curvilínea. És dir quan s'usen coordenades cartesianas en ${ℝ}^n$ les llínees coordenades són llínees rectes paraleles als eixos coordenats, i d'alguna manera en cada punt la base vectorial triada per a medir les coordenades d'un camp vectorial en tots els punts estan "sincronisades". Pero en coordenades curvilíneas en passar d'un punt a un atre, els vectores tangentes a les llínees coordenades usats com a base no coindirán d'un punt a un atre i és necessari computar la seua variació en canviar de punt. En general els vectores ${𝐞}_k(x)$ no només depenen del punt, és necessari especificar cóm es "conecten" els vectores en diferents punts i per a això es definix una conexió que en el cas de ${ℝ}^n$ pot representar-se com un conjunt de coeficients:

Els coeficients ${\Gamma }_{ji}^k$ es diuen símbols de Christoffel i definixen localment la conexió. Juntanto els resultats de (1) i (2) la derivada covariant parcial d'un camp vectorial pot expressar-se per mig de:

Usant el conveni de sumación d'Einstein i renombrando els índexs l'expressió anterior pot escriure's simplement com:

L'expressió entre paréntesis representa les components de la derivada covariant del vector contravariante $𝐯$. Análogamente donada una curva $t\mapsto (x^1(t),\dots ,x^n(t))$ es definix la derivada covariant temporal a lo llarc de dita curva com:

Cas euclídeo

La necessitat de la generalisació de la derivada ordinària en ${ℝ}^n$ s'aprecia quan la seua usen coordandas curvilíneas com s'ha dit. Basta el moviment d'una partícula expressat en coordenades cartesianas i després el mateix moviment expressat en coordenades polars, per eixemple, considerem una massa puntual que es mou a lo llarc de la trayectòria recta per:

És dir, el punt es mou en una velocitat $v$ uniforme a lo llarc d'una recta, açò pot vore's de manera senzilla, si es calculen les velocitats i les acceleració de la partícula:

A on s'ha usat la notació $\dot{x}=dx/dt$ i $\dot{y}=dy/dt$.

Ara considerem el càlcul de l'acceleració en coordenades polars. Com la partícula es mou sobre una recta la distància a l'orige i l'àngul polar estaran relacionats per mig de la relació:

Les coordenades de la velocitat de la partícula en estes coordenades poden determinar-se per mig de càlcul directe o canviant de base a partir de la components cartesianas:

ya que la partícula es mou a velocitat constant el vector acceleració deuria resultar nul. D'acort a lo discutit anteriorment, les components del vector acceleració poden obtindre's per mig de les coordenades covariants:

És important notar com en este cas les derivades parcials ordinàries no coincidixen en les components de l'acceleració:

Ya que en coordenades polars els vectores de la base varien de punt a punt, i és per això que només usant la derivada covariant s'obté un vector d'acceleració nul tal com calia esperar a partir del càlcul en coordenades cartesianas.

Cas general

En una varietat diferenciable o una hipersuperficie de ${ℝ}^n$, per una atra part, el concepte de derivada direccional es definix a partir del espai tangente a cada punt. En el cas general en presentar la varietat o la hipersuperficie curvatura, els espais tangentes de cada punt diferix del dels punts propencs i per tant es necessita alguna manera de "conectar" o identificar vectores de diferents espais vectorials, per mig d'una conexió sobre la varietat.

En una varietat riemanniana comunament es tria una conexió (sense torsion) que siga compatible en la mètrica, expressada per les components del tensor mètric $g_{\mu \nu }$, en el sentit de que:

Vore també

• Derivada covariant exterior

Bibliografia

• Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.