Transformacions covariant i contravariante

En física, les transformacions covariants i les transformacions contravariantes són regles que especifiquen de quina manera certes entitats, com vectorés o tensorés, es modifiquen quan s'introduïx un canvi de base.

Una transformació covariant es definix com aquella que descriu la nova base de vectores com una combinació llineal dels vectores de l'antiga base. Per convenció, els índexs que identifiquen els vectores de la base es representen en subíndexs (índexs inferiors), de la mateixa manera que en el cas de totes les entitats que es transformen de la mateixa manera.^[1]

L'inversa d'una transformació covariant és una transformació contravariante. Sempre que un vector dega ser invariante davant un canvi de base, és dir, dega representar el mateix objecte geomètric o físic en la mateixa magnitut i direcció que abans, els seus components deuen transformar-se segons un criteri contravariante. Per convenció, els índexs que identifiquen les components d'un vector es coloquen com a superíndexs (índexs superiors), de la mateixa manera que en el cas de totes les entitats que es transformen de la mateixa manera.^[1]

La suma dels índexs coincidentes per parells d'un producte en els mateixos índexs inferiors i superiors és invariante baixe una transformació.

Consideracions generals

Un vector en sí mateixa és una cantitat geomètrica, en principi, independent (invariante) sobre la base elegida. Un vector v està donat, per eixemple, en les components vⁱ sobre una base donada i_i. Sobre una atra base, pose's per cas i′_j, el mateix vector v té diferents components denominades v′^j, i ademés

𝐯 = \sum_{i} v^{i} 𝐞_{i} = \sum_{j} {v^{'}}^{j} 𝐞'_{j} .

Com a vector, v deu ser invariante sobre el sistema de coordenades elegit i independent de la base elegida, és dir, la seua direcció i magnitut en el món real deuen mostrar-se iguals independentment de la base de vectores considerada. Si es realisa un canvi de base transformant els vectores i_i en els vectores de la base i′_j, les components vⁱ es transformen en les noves components v′^j, que seguiran conservant la llongitut i l'orientació dels vectores una volta transformats.^[2]

La corresponent transformació de v es denomina regla de transformació contravariante.

Un vector v, i una base local de vectores tangentes {i_x, i_i} i {i_r, i_φ}
Representació de v en els dos sistemes de coordenades

En l'eixemple mostrat, un vector $𝐯 = \sum_{i \in {x, y}} v^{i} 𝐞_{i} = \sum_{j \in {r, ϕ}} {v^{'}}^{j} 𝐞'_{j}$ es descriu per mig de dos sistemes de coordenades diferents: un sistema de coordenades rectangular (la cuadrícula negra); i un sistema de coordenades radial (la cuadrícula roja). S'ha elegit una base de vectores per a cada sistema de coordenades: i_x i i_i per al sistema de coordenades rectangular, i i_r i i _φ per al sistema de coordenades radials. Els vectores de base radial i_r i i_φ apareixen girats en sentit antihorario sobre els vectores de base rectangular i_x i i_i. La transformació covariant realisada als vectores base és, per lo tant, una rotació en sentit antihorario, que gira des del primer vector de la base al segon vector de la base.

Les coordenades de v deuen transformar-se al nou sistema de coordenades, pero el propi vector v, com a objecte matemàtic, permaneix independent de la base elegida, semblant apuntar en la mateixa direcció i en la mateixa magnitut, invariante al canvi de coordenades. La transformació contravariante assegura esta propietat, compensant la rotació entre les dos bases.^[3] Si s'observa v des del context del sistema de coordenades radials, sembla estar més girat en el sentit de les agulles del rellonge respecte als vectores de la base formada per i_r i i_φ quan es compara en la manera en que apareix en relació en els vectores de la base rectangular formada per i_x i i_i. Per lo tant, la necessària transformació contravariante de v en este eixemple implica una rotació virtual en el sentit de les agulles del rellonge.

Eixemples de transformació covariant

La derivada d'una funció es transforma covariantemente

La forma explícita d'una transformació covariant s'introduïx millor en les propietats de transformació de la derivada d'una funció. Considere's una funció escalar f (com la temperatura en una ubicació en un espai) definida en un conjunt de punts p, identificables en un sistema de coordenades donat $x^{i}, i = 0, 1, \dots$ (dita colecció es diu varietat). Si s'adopta un nou sistema de coordenades ${x^{'}}^{j}, j = 0, 1, \dots$ , llavors per a cada i, la coordenada original $x^{i}$ es pot expressar com una funció de les noves coordenades, de manera que $x^{i} ({x^{'}}^{j}), j = 0, 1, \dots$ , i es pot expressar la derivada de f referida a les coordenades antigues en térmens de les noves coordenades, utilisant la regla de la cadena de la derivada, de lo que resulta

\frac{\partial f}{\partial x^{i}} = \frac{\partial f}{\partial {x^{'}}^{j}} \frac{\partial {x^{'}}^{j}}{\partial x^{i}}

Esta és la forma explícita de la regla de la transformació covariant.^[4] La notació d'una derivada normal sobre les coordenades a voltes utilisa una menge, com a figura a continuació:

f_{, i} \overset{d e f}{=} \frac{\partial f}{\partial x^{i}}

a on l'índex i es coloca com a subíndex, per la transformació covariant.

Els vectores d'una base es transformen covariantemente

Un vector es pot expressar en térmens dels vectores de la base que s'elegixca. Per a un determinat sistema de coordenades, es poden elegir els vectores tangentes a la cuadrícula de coordenades. Esta base es diu base de coordenades.

Per a ilustrar les propietats de la transformació, considere's novament el conjunt de punts p, identificables en un sistema de coordenades donat $x^{i}$ , a on $i = 0, 1, \dots$ (és una varietat). Una funció escalar f, que assigna un número real a cada punt p en este espai, és funció de les coordenades $f (x^{0}, x^{1}, \dots)$ . Una curva c és una colecció de punts depenents d'un sol paràmetro, com per eixemple en el cas de c(λ), a on el paràmetro λ definix la curva.

Un vector v tangente a la curva és la derivada $d c / d λ$ de la curva, en la derivada presa en el punt p considerat. Tenint en conte que es pot vore el vector tangente v com un operador (la derivada direccional) que es pot aplicar a una funció, llavors

𝐯 [f] \overset{d e f}{=} \frac{d f}{d λ} = \frac{d}{d λ} f (c (λ))

El paralel entre el vector tangente i l'operador també es pot calcular en les coordenades

𝐯 [f] = \frac{d x^{i}}{d λ} \frac{\partial f}{\partial x^{i}}

o en térmens d'operadors $\partial / \partial x^{i}$

𝐯 = \frac{d x^{i}}{d λ} \frac{\partial}{\partial x^{i}} = \frac{d x^{i}}{d λ} 𝐞_{i}

a on s'ha escrit $𝐞_{i} = \partial / \partial x^{i}$ , els vectores tangentes a les curves que són simplement la pròpia cuadrícula de coordenades.

Si s'adopta un nou sistema de coordenades ${x^{'}}^{i}, i = 0, 1, \dots$ , llavors per a cada i, l'antiga coordenada $x^{i}$ es pot expressar com a funció del nou sistema, per lo que $x^{i} ({x^{'}}^{j}), j = 0, 1, \dots$ Siga $𝐞'_{i} = \partial / \partial {x^{'}}^{i}$ la base, els vectores tangentes en este nou sistema de coordenades. Es pot expressar $𝐞_{i}$ en el nou sistema aplicant la regla de la cadena en x. En funció de les coordenades s'obté la següent transformació

𝐞'_{i} = \frac{\partial}{\partial {x^{'}}^{i}} = \frac{\partial x^{j}}{\partial {x^{'}}^{i}} \frac{\partial}{\partial x^{j}} = \frac{\partial x^{j}}{\partial {x^{'}}^{i}} 𝐞_{j}

que de fet és lo mateix que la transformació covariant per a la derivada d'una funció.^[5]

Vore també

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 Tulsi Dass, S.K. Sharma (1998). Mathematical Methods In Classical And Quàntum Physics, Universities Press, pp. 139 de 703. ISBN 9788173710896.
↑ J. Michael Finn (2009). Classical Mechanics, Jones & Bartlett Publishers, pp. 64 de 576. ISBN 9780763779603.
↑ Bennie Marsh & Frankie Murray (2018). Linear Algebra and Analytic Geometry, Scientific i-Resources, pp. 172 de 296. ISBN 9781839473180.
↑ Ruben Aldrovandi, Jose G Pereira (2012). Teleparallel Gravity: An Introduction, Springer Science & Business Media, pp. 44 de 214. ISBN 9789400751439.
↑ Karl Svozil (2020). Mathematical Methods Of Theoretical Physics, World Scientific, pp. 89 de 332. ISBN 9789811208423.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Transformaciones covariante y contravariante» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[TDSS-1] 1,0 ^1,1 Tulsi Dass, S.K. Sharma (1998). Mathematical Methods In Classical And Quàntum Physics, Universities Press, pp. 139 de 703. ISBN 9788173710896.

[JMF-2] J. Michael Finn (2009). Classical Mechanics, Jones & Bartlett Publishers, pp. 64 de 576. ISBN 9780763779603.

[BM&FM-3] Bennie Marsh & Frankie Murray (2018). Linear Algebra and Analytic Geometry, Scientific i-Resources, pp. 172 de 296. ISBN 9781839473180.

[RAJGP-4] Ruben Aldrovandi, Jose G Pereira (2012). Teleparallel Gravity: An Introduction, Springer Science & Business Media, pp. 44 de 214. ISBN 9789400751439.

[KS-5] Karl Svozil (2020). Mathematical Methods Of Theoretical Physics, World Scientific, pp. 89 de 332. ISBN 9789811208423.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]