Canvi de base

Vore també: Base (àlgebra)

Una combinació llineal d'un conjunt bàsic de vectores (violeta) permet obtindre nous vectores (roig). Si són linealment independents, formen un nou conjunt de bases. Les combinacions llineals que relacionen el primer conjunt en el segon són un tipo d'aplicació llineal denominada canvi de base

El mateix vector representat per dos bases diferents (fleches morades i roges)

Un canvi de base es definix com una aplicació llineal que permet relacionar entre sí les coordenades d'un espai vectorial expressades respecte a dos bases distintes. Esta definició depén a la seua volta del concepte de base en àlgebra llineal, que es caracterisa com un conjunt d'elements linealment independents entre sí que constituïxen un sistema generador de l'espai vectorial al que pertanyen. Este artícul tracta principalment sobre espais vectorials de dimensió finita, pero molts de les teoremes també són vàlits per a espais vectorials de dimensió infinita. Una base d'un espai vectorial de dimensió n és un conjunt de n vectores (α₁, …, α_n), cridats base de vectores, en la propietat de que cada vector en l'espai pot expressar-se com una combinació llineal única dels vectores de la base. Les representacions matriciales de les aplicacions que operen sobre els vectores també estan determinades per la base elegida. Ya que a sovint és desijable treballar en més d'una base, és de fonamental importància poder transformar fàcilment les representacions dels vectores coordenados i de les aplicacions que operen sobre ells definits sobre una base, a les seues representacions equivalents sobre una atra base. Esta transformació es denomina canvi de base. Per eixemple, si $A\in {ℝ}^{n\times n}$ és una matriu les columnes de la qual comprenen una base de ${ℝ}^n$, un vector $𝐯$ (en la base estàndar) també es pot expressar com una combinació llineal de les columnes de $A$ pel vector $A^{-1}𝐯$. Llavors, per definició, $A(A^{-1}𝐯)=(A{A}^{-1})𝐯=𝐯$. Si les columnes de $A$ formen una base ortonormal, llavors l'inversa de $A$ és la seua transposició i s'obté el canvi de base com $A^T𝐯$, és dir, el vector de les proyeccions escalares de $𝐯$ en les columnes de $A$.

Encara que el símbol R que s'utilisa a continuació pot interpretar-se com el camp dels número real, els resultats són vàlits si R es reemplaça per qualsevol atre camp F. Encara que a continuació s'usa la terminologia d'espais vectorials, els resultats discutits són vàlits sempre que R siga un anell conmutativo, de manera que el terme espai vectorial podria ser reemplaçat pel terme R-mòdul lliure, mantenint-se la validea de les expressions utilisades.

Nocions preliminars

Matriu de transformació

La base canònica d'un espai vectorial $R^n$ és la seqüència ordenada $E_n=\{e_1,\cdots ,e_n\}$, a on $e_j$ és l'element de $R^n$ en $1$ en el lloc $j$ i $0$ en les components restants. Per eixemple, la base estàndar per a $R^2$ seria

$E_2=\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\}$

Si $T:R^n\to R^m$ és una aplicació llineal, la matriu d'orde $m\times n$ associada en $T$ és la matriu $M_T$ la columna de la qual $j$ és $T(e_j)\in R^m$, per a $j=1,\cdots ,n$, és dir

$M_T=\left[\begin{array}{c}T(e_1)\cdots T(e_j)\cdots T(e_n)\end{array}\right]\in R^{m\times n}$

En este cas es té que $T(x)=M_T\cdot x$, $\mathrm{\forall }x\in R^n$, a on es considera $x$ com un vector columna i la multiplicació pel costat dret és la multiplicació de matrius. És un fet bàsic en àlgebra llineal que l'espai vectorial Hom ($R^n,R^m$) de totes les transformacions llineals de $R^n$ a $R^m$ és naturalment isomòrfic en l'espai $R^{m\times n}$ de les matrius $m\times n$ sobre $R$; és dir, una transformació llineal $T:R^n\to R^m$ és a tots els efectes equivalent a la seua matriu $M_T$.

Unicitat de les transformacions llineals

Més alvance es farà us de les propietats següents:

Teorema

Sean $V$ i $W$ dos espais vectorials, i $B=\{{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\}$ una base de $V$. Siga també $C=\{{\gamma }_1,\cdots ,{\gamma }_n\}$ un conjunt qualsevol en $W$. Llavors, existix una transformació llineal única $T:V\to W$ en $T({\alpha }_j)={\gamma }_j$, per a $j=1,\cdots ,n$.

Esta transformacíon $T$ única està definida per

$T(x_1{\alpha }_1+\cdots +x_n{\alpha }_n)=T(x_1{\alpha }_1)+\cdots +T(x_n{\alpha }_n)=x_{1}T({\alpha }_1)+\cdots +x_{n}T({\alpha }_n)=x_1{\gamma }_1+\cdots +x_n{\gamma }_n$

Per supost, si $C=\{{\gamma }_1,\cdots ,{\gamma }_n\}$ és una base per a $W$, llavors $T$ és una funció biyectiva ademés de llineal; en atres paraules, $T$ és un isomorfisme. Quan també es té que $W=V$, llavors es diu que $T$ és un automorfisme.

Isomorfisme entre coordenades

Ara, siga $V$ un espai vectorial sobre $R$, i suponguen-se que $B=\{{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\}$ és una base de $V$. Per definició, si $\xi$ és un vector en $V$, llavors $\xi =x_1{\alpha }_1+\cdots +x_n{\alpha }_n$ per a un conjunt únic d'escalares $x_1,\cdots ,x_n\in R$ denominats les "coordenades de $\xi$ relatives a la base ordenada $B$". El vector $x=(x_1,\cdots ,x_n{)}^T\in R^n$ es denomina "tupla de coordenades de $\xi$ relativa a $B$".

L'aplicació llineal única $\varphi :R^n\to V$ en $\varphi (e_j)={\alpha }_j$ per a $j=1,\cdots ,n$ es denomina isomorfisme de coordenades per a $V$ i la base $B=\{{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\}$. Aixina, $\varphi (x)=\xi$ si i solament si $\xi =x_1{\alpha }_1+\cdots +x_n{\alpha }_n$.

Matriu d'un conjunt de vectores

Un conjunt de vectores es pot representar per mig d'una matriu, en la que cada columna consta de les components del vector corresponent del conjunt. Com una base és un conjunt de vectores, una matriu d'este tipo permet definir una base. Posteriorment es mostrarà que el canvi de base de qualsevol objecte de l'espai està relacionat en esta matriu. Per eixemple, els vectores canvien en el seu invers (i per això es denominen objectes contravariantes).

Canvi de coordenades d'un vector

Primer es va a examinar la qüestió de cóm canvien les coordenades d'un vector $\xi$ en l'espai vectorial $V$ quan s'utilisa una atra base.

Dos dimensions

Donada una matriu $M$ les columnes de la qual són els vectores de la nova base de l'espai (nova matriu base), les noves coordenades per a un vector columna $v$ vénen donades pel producte matricial $M^{-1}v$. Per esta raó, es diu que els vectores ordinaris són objectes contravariantes.

Qualsevol conjunt finito de vectores es pot representar per mig d'una matriu en la que les seues columnes són les coordenades dels vectores donats. Servixca com a eixemple en la dimensió 2, un parell de vectores obtinguts en girar la base canònica 45° en sentit antihorario. La matriu les columnes de la qual són les coordenades d'estos vectores és

$M=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{-1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$

Si es vol canviar qualsevol vector de l'espai a esta nova base, solament es necessita multiplicar per l'esquerra els seus components per l'inversa d'esta matriu.

Tres dimensions

Per eixemple, siga R una nova base donada per les seues ànguls de Euler. La matriu de la base tindrà com a columnes les components de cada vector. Per tant, esta matriu serà (vore l'artícul dedicat als ànguls de Euler):

$𝐑=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{c}}_{\alpha }{\mathrm{c}}_{\gamma }-{\mathrm{s}}_{\alpha }{\mathrm{c}}_{\beta }{\mathrm{s}}_{\gamma }& -{\mathrm{c}}_{\alpha }{\mathrm{s}}_{\gamma }-{\mathrm{s}}_{\alpha }{\mathrm{c}}_{\beta }{\mathrm{c}}_{\gamma }& {\mathrm{s}}_{\beta }{\mathrm{s}}_{\alpha }\\ {\mathrm{s}}_{\alpha }{\mathrm{c}}_{\gamma }+{\mathrm{c}}_{\alpha }{\mathrm{c}}_{\beta }{\mathrm{s}}_{\gamma }& -{\mathrm{s}}_{\alpha }{\mathrm{s}}_{\gamma }+{\mathrm{c}}_{\alpha }{\mathrm{c}}_{\beta }{\mathrm{c}}_{\gamma }& -{\mathrm{s}}_{\beta }{\mathrm{c}}_{\alpha }\\ {\mathrm{s}}_{\beta }{\mathrm{s}}_{\gamma }& {\mathrm{s}}_{\beta }{\mathrm{c}}_{\gamma }& {\mathrm{c}}_{\beta }\end{array}\right].$

Novament, qualsevol vector de l'espai pot canviar-se a esta nova base multiplicant a l'esquerra els seus components per l'inversa d'esta matriu.

Interpretació general

Suponga's que $A=\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\}$ i que $B=\{{\beta }_1,\dots ,{\beta }_n\}$ són dos bases ordenades d'un espai vectorial n dimensional V sobre un camp K. Sean φ_A i φ_B els isomorfismes de coordenades corresponents (aplicacions llineals) de Kⁿ sobre V, és dir, ${\varphi }_A(e_i)={\alpha }_i$ i ${\varphi }_B(e_i)={\beta }_i$ per a i = 1, …, n, i a on els i_i són n-tuplas en la component i igual a 1 i totes les demés components iguals a 0.

Si $x=(x_1,\dots ,x_n)$ és una n-tupla en les coordenades d'un vector v de V sobre la base A, llavors $v={\varphi }_A(x)$, llavors la tupla de coordenades de v sobre B és la tupla i tal que ${\varphi }_B(y)=v$, és dir, $y={\varphi }_B^{-1}(v)={\varphi }_B^{-1}({\varphi }_A(x))$, de modo que per a qualsevol vector de V, l'aplicació ${\varphi }_B^{-1}\circ {\varphi }_A$ fa correspondre la seua tupla de coordenades sobre A en la seua tupla de coordenades sobre B. Ya que esta aplicació és un automorfisme en Kⁿ, llavors té una matriu quadrada associada C. Ademés, la columna i de C és ${\varphi }_B^{-1}\circ {\varphi }_A(e_i)={\varphi }_B^{-1}({\alpha }_i)$, és dir, la tupla de coordenades de α_i sobre B.

Per lo tant, per a qualsevol vector v de V, si x és la tupla de coordenades de v sobre A, llavors la tupla $y={\varphi }_B^{-1}({\varphi }_A(x))=Cx$ és la tupla de coordenades de v sobre B. La matriu C es diu matriu de transició de A a B.

Vore també

• Components d'un vector
• Transformada integral,anàlec continu de canvi de base
• Transformació activa i passiva

Bibliografia

• (1987).«Elementary Linear Algebra».Wiley.New York:
• (1973).«A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields».Houghton Mifflin Harcourt.Boston:
• (1970).«Linear Algebra and Matrix Theory».Wiley.New York: