Components d'un vector

En el cas del concepte geomètric clàssic de vector, existix una identificació plena entre les seues "components" i les "coordenades" que ho representen. No obstant, existixen un atre tipos d'espais vectorials (com per eixemple, el conjunt de polinomis d'orde n), en els que el concepte de "coordenada" carix de la generalitat de l'idea de "component"

En àlgebra llineal, els components d'un vector són una llista ordenada de números que ho descriuen en térmens d'una base determinada, constituint una representació del mateix.

Sempre s'especifiquen en relació en una base ordenada. Les bases i les seues representacions per mig de components associats permeten caracterisar tant els elements de qualsevol espai vectorial com les aplicacions llineals definides sobre el mateix, prenent la forma de vectores columna o fila, i de matrius. Esta propietat facilita la sistematisació dels càlculs associats a estes aplicacions.

L'idea d'un vector descrit per mig dels seus components també es pot utilisar en espais vectorials de dimensió infinita, com es descriu a continuació.

Definició

Siga V un espai vectorial de dimensió n sobre un camp F, i siga

$B=\{b_1,b_2,\dots ,b_n\}$

una base de V. Llavors, per a cada $v\in V$ existix una única combinació llineal dels vectores base que és igual a v:

$v={\alpha }_1{b}_1+{\alpha }_2{b}_2+\cdots +{\alpha }_n{b}_n.$

Les components del vector v relatives a B són una successió de coordenades

$[v{]}_B=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n).$

Este conjunt de coeficients també es denomina "representació de v sobre B", o "representació respecte a B de v". Les α-s es denominen components de v (o també coordenades de v quan es requerix utilisar una notació geomètrica). L'orde de la base es torna important ací, ya que determina l'orde en el que s'enumeren els coeficients de les components del vector.

Les components d'un vector en espais vectorials de dimensió finita es poden representar per mig de matrius com vectores columna o fila. En la notació anterior, es pot escriure

$[v{]}_B=\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ ⋮\\ {\alpha }_n\end{array}\right]$

o be

$[v{]}_B=\left[\begin{array}{cccc}{\alpha }_1& {\alpha }_2& \dots & {\alpha }_n\end{array}\right].$

Representació estàndar

Es pot mecanisar la transformació anterior definint una funció ${\varphi }_B$, cridada representació estàndar de V sobre B, que lliga cada vector en les components de la seua representació: ${\varphi }_B(v)=[v{]}_B$. Llavors ${\varphi }_B$ és una transformació llineal de V sobre Fⁿ. De fet, és un isomorfisme, i el seu inversa ${\varphi }_B^{-1}:F^n\to V$ és simplement

${\varphi }_B^{-1}({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)={\alpha }_1{b}_1+\cdots +{\alpha }_n{b}_n.$

Alternativament, es podria haver definit ${\varphi }_B^{-1}$ com la funció anterior des del principi, observant que ${\varphi }_B^{-1}$ és un isomorfisme, i definir ${\varphi }_B$ com la seua inversa.

Vore també

• Canvi de base