Derivada direccional

En anàlisis matemàtic, la derivada direccional (o ben derivada segons una direcció) d'una funció multivariable, en la direcció d'un vector dau, representa la taxa de canvi instantànea de la funció en la direcció de dit vector. Este concepte generalisa les derivades parcials, ya que estes són derivades direccionals preses en la direcció dels respectius eixos coordenados estàndart.

Definició

Un diagrama de curves de nivell de l'equació $f(x,y)=x^2+y^2$, mostrant el vector gradient en negre, i el vector unitari $\overrightarrow{u}$ escalat per la derivada direccional en la direcció de $\overrightarrow{u}$ en anaranjado. El vector gradient és més llarc perque apunta en la direcció de la major taxa d'increment d'una funció.

Definició general

La derivada direccional d'una funció real de n variables $f:{ℝ}^n\to ℝ$

$f(𝐱)=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$

en la direcció del vector

$\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,\dots ,v_n)$

és la funció definida pel llímit:

(A cada punt $\overrightarrow{x}$ la funció $D_{\overrightarrow{v}}f$ li associa el valor $D_{\overrightarrow{v}}f$ de la derivada de $f$ en la direcció de $\overrightarrow{v}$).

Si la funció $f$ és diferenciable, la derivada direccional pot ser escrita en térmens de la seua gradient $\mathrm{\nabla }f$

a on «$\cdot$» denota el producte escalar o producte punt entre vectores. En qualsevol punt $𝐱$, la derivada direccional de f representa intuitivamente la taxa de canvi de f sobre el temps quan s'està movent a una velocitat i direcció donada per $\overrightarrow{v}$ en dit punt.

La derivada direccional diu cóm canvia una funció $f$ en la direcció d'un vector $\overrightarrow{v}$.

Definició solament en la direcció d'un vector

Alguns autors definixen la derivada direccional sobre el vector $\overrightarrow{v}$ despuix de la normalisació, ignorant aixina la seua magnitut. En este cas:

$D_{\overrightarrow{v}}f=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(𝐱+h𝐯)-f(𝐱)}{h|𝐯|}.$

Si la funció és diferenciable, llavors

$D_{\overrightarrow{v}}f=\mathrm{\nabla }f(𝐱)\cdot \frac{𝐯}{|𝐯|}.$

Esta definició té algunes desventages: el seu aplicabilidad està llimitada a un vector de norma definida i no nula. Ademés és incompatible en la notació amprada en atres branques de la matemàtica, física i ingenieria per lo que deu utilisar-se quan lo que es vol és la taxa d'increment de $f$ per unitat de distància.

Restricció al vector unitari

Alguns autors restringixen la definició de la derivada direccional sobre un vector unitari. En esta restricció, les dos definicions anteriors es convertixen en una mateixa.

Demostració de la relació en el gradient

El cas més senzill de la derivada direccional es dona en l'espai tridimensional. Suponga's que existix una funció diferenciable $z=f(x,y)$. La derivada direccional segons la direcció d'un vector unitari $𝐯=(v_x,v_y)$ és:

$\begin{array}{cc}{D}_{\overrightarrow{v}}f& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+v_{x}h,y+v_{y}h)-f(x,y)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+v_{x}h,y+v_{y}h)-f(x,y+v_{y}h)+f(x,y+v_{y}h)-f(x,y)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+v_{x}h,y+v_{y}h)-f(x,y+v_{y}h)}{h}+\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x,y+v_{y}h)-f(x,y)}{h}\end{array}$

El primer d'estos llímits pot calcular-se per mig del canvi $h^{\prime }=v_{x}h$ la qual cosa du, per ser diferenciable la funció f, a:

Procedint análogamente per a l'atre llímit es té que:

Resultat que trivialment coincidix en el producte escalar del gradient pel vector $𝐯=(v_x,v_y)$:

Notacions alternes

La derivada direccional pot ser denotada per mig dels símbols:

${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f(𝐱)\sim \frac{\partial f(𝐱)}{\partial v}\sim f{\text{'}}_{𝐯}(𝐱)\sim D_{𝐯}f(𝐱)\sim 𝐯\cdot \mathrm{\nabla }f(𝐱)\sim 𝐯\cdot \frac{\partial f(𝐱)}{\partial 𝐱}$

a on $𝐯$ és la parametrización d'una curva per a la qual $𝐯$ és tangente i la qual determina la seua magnitut.

Referències

• Bombal, R. Marín & Vora: Problemes d'Anàlisis matemàtic: Càlcul Diferencial, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6.

Vore també

• Gradient
• Derivada
• Derivada parcial