Transport paralel

En matemàtiques, un transport paralel en una varietat M en conexió especificada és un modo de transportar^{[nota 1]} vectores sobre curves diferenciables de manera que permaneixquen "paralels" respecte a la conexió donada.

Campos paralels sobre curves diferenciables

Un camp vectorial $X$ sobre una curva diferenciable $γ$ es diu paralel si

\nabla_{\dot{γ} (t)} X = 0

per a qualsevol t. L'interpretació de la fòrmula anterior és que derivar covariantemente el camp $X$ respecte al vector tangente $\dot{γ} (t)$ a la curva $γ (t)$ , com l'àngul entre dos vectores és un dels aspectes que podria variar, en varietats de Riemann a on es pot definir la noció d'àngul l'equació anterior, implica que l'àngul es manté constant i, per tant, que el vector $X$ és transportat paralelament ya que el seu inclinament respecte a la curva no varia.

Transport paralel

Siguen M una varietat diferenciable en conexió $\nabla$ i $γ : I ⟶ M$ una curva suau. Sean $t_{0} \in I$ i $ω_{0} \in T_{γ (t_{0})} M$ . Llavors existix un únic camp vectorial paralel ω a lo llarc de $γ$ tal que $ω (t_{0}) = ω_{0}$ . $ω$ es diu transport paralel de $ω_{0}$ a lo llarc de $γ$ .

Donada una mètrica en uns corresponents Símbols de Christoffel, les equacions que deu complir un camp vectorial $V (t) = (v_{1} (t), \dots, v_{n} (t))$ per a ser transport paralel a lo llarc de la curva $c (t) = (c_{1} (t), \dots, c_{n} (t))$ són:

${v_{k}}^{'} (t) + \sum_{i, j = 1}^{n} v_{i} (t) {c_{j}}^{'} (t) Γ_{j i}^{k} (c_{1} (t), \dots, c_{n} (t)) = 0 \forall k \in {1, \dots, n}$

A açò se li afig la senya inicial:

$v_{k} (0) = v_{0} \forall k \in {1, \dots, n}$

Este sistema d'equacions diferencials llineals té solució única, en lo que es garantisa l'existència i unicitat del transport paralel.

Vore també

Notes

↑ Es tracta de buscar una aplicació T sobr l'espai tangente en dos punts diferents, per a cada vector v de l'espai tangente en el primer punt s'obté un vector en el segon espai w, eixe segon vector es diu vector transportat T(v) en w = T(v).

Referències

Bibliografia

Do Carmo, Manfredo Perdigão, Riemannian Geometry
(1977).«Differential Geometry».Dover.
Knebelman(1951).«Spaces of relative parallelism».Annals of Mathematics.The Annals of Mathematics, Vol. 53, No. 3.53(3)

387–399.doi:10.2307/1969562.

(1996).«Foundations of Differential Geometry, Volume 1».Wiley-Interscience.; Volume 2, ISBN 0-471-15732-5.
{{{1}}} en Springer
Spivak, Michael (1999). A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. II, Publish-or-Perish Press. ISBN 0914098713.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Transporte paralelo» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Es tracta de buscar una aplicació T sobr l'espai tangente en dos punts diferents, per a cada vector v de l'espai tangente en el primer punt s'obté un vector en el segon espai w, eixe segon vector es diu vector transportat T(v) en w = T(v).

[nota 1]