Conexió de Levi-Civita

En geometria de Riemann, la conexió de Levi-Civita (nomenada aixina per Tullio Levi-Civita) és la conexió lliure de torsió del fibrado tangente, preservant una mètrica de Riemann (o mètrica pseudoriemanniana) donada. El teorema fonamental de la geometria de Riemann establix que hi ha una conexió única que satisfan estes propietats.

En la teoria d'una varietat de Riemann o d'una varietat pseudoriemanniana el terme derivada covariant s'utilisa a sovint per a la conexió de Levi-Civita. L'expressió en coordenades espacials de la conexió es diu els símbols de Christoffel.

Definició formal

Siga (M, g) una varietat de Riemann (o una varietat pseudoriemanniana) llavors una conexió afí $\mathrm{\nabla }$ és una conexió de Levi-Civita si satisfà les condicions següents

• Preserva la mètrica, és dir, per a qualssevol camps vectorials X, I, Z tenim $Xg(Y,Z)=g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)+g(Y,{\mathrm{\nabla }}_{X}Z)$, a on X g(I, Z) denota la derivada de la funció g(I, Z) a lo llarc del camp vectorial X.

• És lliure de torsió, és dir, per a qualssevol camps vectorials X i I tenim ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X=[X,Y]$, a on $[X,Y]$ és el corchete de Lie dels camps vectoriales X i I.

Símbols de Christoffel

Siga de $\mathrm{\nabla }$ una conexió afí en el fibrado tangente $TM$ de la Varietat de Riemann $(M,g)$. En un entorn de qualsevol punt podem triar coordenades locals $x^1,\dots ,x^n$ en la base de camps vectorials $\frac{\partial }{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial }{\partial x_n}$. Localment la conexió queda determinada pels Símbols de Christoffel, que es definixen com: ${\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_i}}\frac{\partial }{\partial x_j}={\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial x_k}$.

Per a la conexió de Levi-Civita, els Símbols de Christoffel poden ser calculats a partir de la mètrica. Localment, si $g_{ij}=g(\frac{\partial }{\partial x_i},\frac{\partial }{\partial x_j})$ són els coeficients de la matriu del tensor mètric en el sistema de coordenades local; i $g^{ij}$ els de la matriu inversa, es demostra que, per a la conexió de Levi-Civita:

${\Gamma }_{ij}^k=\frac{1}{2}{g}^{kl}(\frac{\partial g_{li}}{\partial x_j}+\frac{\partial g_{lj}}{\partial x_i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x_l})$

Vore també

• vierbein.
• Tullio Levi-Civita.