Formalisme de Cartan

Esta pàgina cobrix notacions i definicions, a voltes cridades el formalisme de Cartan, per al concepte de la conexió de Cartan.

Vielbeins, etcétera

La teoria de les tétradas o vielbeins és el cas especial per a una varietat diferenciable cuatridimensional. S'aplica a la mètrica de qualsevol signatura. En qualsevol dimensió, per a una seudo geometria de Riemann (en signatura mètrica (p,q)), esta teoria de la conexió de Cartan és un método alternatiu en geometria diferencial. En diversos contexts també s'ha cridat método del marc ortonormal, repère mobile, forma de soldaje, forma no holonómica ortonormal.

Esta secció és un acostament a les tétradas, pero escrit en térmens generals. En atres dimensions distintes de 4, s'han utilisat paraules com a tríade, péntada, funfbein, elfbein, etc.. Vielbein cobrix totes les dimensions.

Si es busca una notació d'índex base-depenent, vore tétrada (notació d'índex).

Els ingredients bàsics

Siga una varietat diferenciable M de dimensió n, i els número natural fixats p i q en p+q = n. Suponem donat un SO(p, q) - fibrado principal B sobre M (cridat el fibrado de bases), i un SO(p, q)-fibrado vectorial V associat a B per mig de la natural representació de SO(p, q) n-dimensional .

Suponga donat també una mètrica SO(p, q)-invariante η de signatura (p, q) sobre V; i una funció llineal inversible entre fibrados vectorials sobre M, i: TM → V a on TM és el fibrado tangente de M.

Construccions

Una (seudo)mètrica de Riemann es definix sobre M com suma amalgamada (push forward) de η per i. És dir si tenim dos seccions de TM, X i I,

g(X, I)=η(i(X),i(I)).

Una conexió sobre V, A es definix com l'única conexió que satisfà estes dos condicions:

• dη(a, b)=η(d_Aa, b)+η(a, d_Ab) para totes les seccions diferenciables a i b de V (és dir d_Aη=0) a on d_A és la derivada exterior covariant. (açò indica bàsicament que A es pot ampliar a una conexió sobre el SO(p, q) fibrado principal)

• d_Ai=0. (açò indica bàsicament que ∇ definida avall és lliure de torsió)

ara que hem especificat A, podem utilisar-la per a definir una conexió sobre TM per producte fibrado (pullback) per i;

i(∇X)=d_Ai(X) para totes les seccions diferenciables X de TM.

Ya que lo que ara tenim ací és una SO(p, q) teoria de gauge, la curvatura F de Riemann definida com a F = dA + A∧A és covariant de gauge punt a punt. Este és simplement el tensor de Riemann d'un modo divers.

L'acció de Palatini

En la formulació tétrada de la relativitat general, l'acció, com funcional de la cotétrada i i la conexió A sobre la varietat diferenciable M quatre dimensional ve donada per

$S\equiv \frac{1}{2}\underset{M}{\int }ϵ(F\wedge e\wedge e)$

a on F és la 2-forma de curvatura de gauge i i és l'equivariante antisimètric reps per tetravectores del SO(3,1) normalisat per η.