Geometria de Riemann

En geometria diferencial, la geometria de Riemann és l'estudi de les varietats diferencials (per eixemple, una varietat de Riemann) en mètriques de Riemann; és dir d'una aplicació que a cada punt de la varietat, li assigna una forma quadràtica definida positiva en la seua espai tangente, aplicació que varia suaument d'un punt a un atre. Açò dona idees locals de (entre atres magnituts) àngul, llongitut de curves, i volum. A partir d'estes, poden obtindre's atres magnituts per integració de les magnituts locals.

Va ser proposta per primera volta de forma general per Bernhard Riemann en el XIX. Com a casos especials particulars apareixen els dos tipos convencionals (geometria elíptica i geometria hiperbòlica) de geometria No-Euclidiana, aixina com la geometria euclidiana mateixa. Totes estes geometria es tracten sobre la mateixa base, de la mateixa manera que una àmplia gama de les geometria en propietats mètriques que varien de punt a punt.

Qualsevol varietat diferenciable admet una mètrica de Riemann i esta estructura adicional ajuda a sovint a solucionar problemes de topología diferencial. També servix com un nivell d'entrada per a l'estructura més complicada de les varietats pseudo-Riemann, les quals (en el cas particular de tindre dimensió 4) són els objectes principals de la teoria de la relativitat general.

Introducció

Archiu:Georg Friedrich Bernhard Riemann.jpeg

Bernhard Riemann

La geometria riemanniana va ser plantejada per primera volta en general per Bernhard Riemann en el XIX. S'ocupa d'una àmplia gama de geometria les propietats de les quals mètriques varien d'un punt a un atre, incloent els tipos estàndar de geometria no euclidiana.

Tota varietat suau admet una mètrica de Riemann, que a sovint ajuda a resoldre problemes de topología diferencial. També servix com a nivell d'entrada per a l'estructura més complicada de les varietats pseudo-riemannianas, que (en quatre dimensions) són els principals objectes de la teoria de la relativitat general. Atres generalisacions de la geometria riemanniana són la geometria de Finsler.

Existix una estreta analogia de la geometria diferencial en l'estructura matemàtica dels defectes en els cristals regulars. Les recalcada i disclinaciones produïxen torsió i curvatura.

Els següents artículs proporcionen algun material introductori útil:

• Tensor mètric
• Varietat de Riemann
• Conexió de Levi-Civita
• Curvatura
• Tensor de curvatura de Riemann
• Glossari de geometria de Riemann i mètrica

Història

Aparició de la geometria de Riemann

Durant molts sigles, el marc natural de la geometria va ser la geometria euclidiana del pla o de l'espai. Els intents infructuosos de demostrar el postulat de les paraleles varen ajudar als geómetras a imaginar formes d'anar més allà d'este marc. Aixina, Lobachevski en 1829 i Bolyai en 1832 varen introduir els primers eixemples de geometria no euclidiana. Els espais en geometria hiperbòlica que varen construir es consideren ara casos especials de varietats riemannianas en "curvatura negativa".

Uns anys abans, Gauss va estudiar la geometria diferencial de superfícies de l'espai euclídeo. Per a descriure-les, va introduir una magnitut fonamental, la curvatura de Gauss. Es va donar conte de que esta curvatura podia calcular-se sense involucrar l'espai circumdant, directament a partir de l'informació disponible en la superfície, una teorema que va descriure com "notable" (theorema egregium). El propi Gauss va estar a punt de descobrir la geometria hiperbòlica.

El primer pas de la geometria riemanniana pròpiament dita es remonta als treballs de Bernhard Riemann en el XIX i, en particular, en una conferència inaugural titulada Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (és dir, en francés: Sur els hypothèses sous-jacentes à la géométrie). Es tracta d'una generalisació directa de la geometria diferencial de les superfícies gaussianas en n dimensions. Este nou enfocament va ampliar enormement l'idea de geometria no euclidiana, encara que el seu marc conceptual va tardar vàries décades en desenrollar-se.

Cap a una formalisació completa

La segona mitat de el Plantilla:S- vorà principalment refinada la comprensió de la geometria hiperbòlica, a través de l'introducció i anàlisis de diferents models de representació, que trobaran una aplicació en la relativitat especial. Apareixen diferents ferramentes, que poc a poc demostraran la seua gran importància. Aixina, la teoria de grups i àlgebra de Lie apareix en la década de 1870, a l'hora que Felix Klein subralla l'importància del concepte de grup en geometria en la seua programa de Erlangen. Ulisse Dini va demostrar el seu teorema de la funció implícita, que seria un preludi indispensable per a la formalisació de la varietat. Henri Poincaré va desenrollar el camp de la topología i va introduir el grup fonamental.

Es va donar un pas decisiu quan Gregorio Ricci-Curbastro i Tullio Levi-Civita varen desenrollar el càlcul tensorial en la seua obra Methods of absolute differential calculus and their applications publicada en 1900. Encara que el marc "espacial" encara no està totalment aclarit, els càlculs alvancen molt en els tensors. Es va trobar una aplicació molt profunda quan Einstein, introduït a les noves geometria i a este càlcul tensorial pel seu amic Marcel Grossmann, els va posar en us en la seua teoria de la relativitat general en 1916.

Des de 1902 fins a mediats de la década de 1930, es varen realisar numerosos intents de formalisar la noció de varietat diferenciable. Esta busca va terminar en la publicació del Teorema d'immersió de Whitney en 1936. La geometria riemanniana disponia per fi d'un marc clar.

Un camp d'investigació en expansió

Archiu:Gromov Mikhail Leonidovich.jpg

Mijaíl Grómov, Premi Abel 2009 pels seus "contribucions revolucionàries a la geometria"

Archiu:Perelman, Grigori (1966).jpg

Grigori Perelman ampra en èxit la geometria riemanniana per a resoldre un famós problema d'topología: la conjectura de Poincaré

La classificació d'espais simètrics per Élie Cartan en 1926 és un dels primers resultats importants de la geometria de Riemann. En la década de 1930 es varen publicar les primeres teoremes generals sobre varietats de curvatura positiva (Teorema de Myers, teorema de Synge).

El teorema de l'esfera establit en 1960 marca una espècie d'apogeu de les concepcions clàssiques basades en teoremes de comparació. Va començar llavors una renaixença de la geometria riemanniana. Va estar marcat pel desenroll dels métodos de la geometria espectral, espolejat per la famosa fòrmula de Mark Kac: Sentir la forma d'un tambor i en francés: ¿Peut-on entendre la forme d'un tambour??, i els vínculs del qual en la busca de geodèsiques periòdiques es varen posar de manifest. En la década de 1980, Mijaíl Grómov va introduir una noció de distancia entre varietats riemannianas i va demostrar alguns resultats de convergència fructífers. Al mateix temps Richard Hamilton comença a desenrollar l'estudi de el "fluix de Ricci", llançant un programa de demostració de resultats topològics per geometria riemanniana per mig de métodos de deformació de mètriques. Este programa té molt èxit, en la demostració de la famosa conjectura de Poincaré per Perelman en 2003 i una potent generalisació de la teorema de l'esfera (el "teorema diferencial de l'esfera") en 2007.

Nocions fonamentals de la geometria riemanniana, com la curvatura, troben progressivament un marc d'utilisació molt més ampli que el de les varietats riemannianas pròpiament dites, i s'estenen en formes més o menys complexes als espais mètrics. Grómov definix aixina els espais CAT(k) de Cartan-Aleksándrov-Toponógov o inclús nocions de teoria geomètrica de grups, com el grup hiperbòlic. Villani, John Lott i Sturm varen introduir en els anys 2010 una visió ampliada i "sintètica" de la noció de curvatura de Ricci minorizar a partir d'una formulació de la transporte òptim sobre un espai mètric en una mida.

Conceptes bàsics

Geodèsiques

Archiu:Grosskreis.svg

Els grans círculs estan en llínees contínues

.

Archiu:Transpolar geodesic on a triaxial ellipsoid case A.svg

Eixemple de geodèsica en comportament global complex: cas d'un elipsoide

Les geodèsiques permeten respondre a la busca dels camins més curts entre dos punts, de la mateixa manera que les llínees rectes en l'espai euclidiano. En realitat, les seues propietats són més complexes que les de les rectes i cal distinguir entre lo que es pot dir des d'un punt de vista local i lo que es pot dir des d'un punt de vista més global.

Les geodèsiques es definixen de forma general recorrent al càlcul de variacions. Considerem dos punts x i i i estudiem la funcional de llongituts en totes les curves que unixen x en i en velocitat uniforme. Les curves que representen els punts crítics d'este funcional es diuen geodèsiques. Equivalentement, podem caracterisar estes geodèsiques per mig d'una equació geodèsica en la que intervenen el vector velocitat ${\gamma }^{\prime }(t)$, el tensor g i les seues derivades. També es poden introduir estes geodèsiques com els punts crítics d'energia i imaginar-les com a bandes elàstiques estirades sobre la varietat.

Com a eixemple, les geodèsiques de l'esfera són els grans círculs. Açò demostra que les geodèsiques no sempre alcancen la distància mínima entre dos punts: per a anar d'un punt a un atre, es pot seguir l'arc del gran círcul més curt o el més llarc, o inclús recórrer-los vàries voltes. Tampoc existix unicitat del camí més curt en el cas de dos punts diametralment oposts.

No obstant, a nivell local, la situació és molt més senzilla. Es pot dir en general que les geodèsiques són "localment minimizadoras": entre dos dels seus punts, presos suficientment prop, alcancen un mínim per a la llongitut. Partint d'un punt x donat, existix una única geodèsica en un vector tangente dau. En efecte, es pot introduir un mapa adequat centrat en x. Està definit per l'aplicació exponencial en x que consistix en seguir cada una de les geodèsiques en orige en x durant un temps unitari. Correspon a coordenades locals adaptades, cridades coordenades normals.

Per a formular resultats globals, només considerarem el cas d'una varietat conectiva i complet. En este cas, les geodèsiques poden estendre's per a qualsevol temps, pero en comportaments globals variables (periodicitat o no, per eixemple). Ademés, entre dos punts donats sempre hi ha a lo manco una geodèsica que realisa el mínim de la llongitut: tot açò constituïx el teorema de Hopf-Rinow.

Curvatura

Archiu:Hyperbolic triangle.svg

Aspecte de la geometria en una porció d'una varietat de curvatura negativa

En la geometria de Riemann, encara que les geodèsiques generalisen les rectes de la geometria euclidiana, ya no trobem els mateixos resultats sobre el càlcul de llongituts, ànguls i superfícies dels objectes més senzills (triànguls geodèsics, círculs o esferes...). Aixina, la suma dels ànguls d'un triàngul és de 180°, és el resultat en geometria euclidiana. La curvatura permet quantificar estes diferències.

En el cas de superfícies en l'espai euclídeo ${ℝ}^3$, la curvatura es denomina curvatura de Gauss. Es medix en cada punt com un escalar. En un punt de curvatura positiva, la geometria de la superfície s'assembla localment a la d'un elipsoide de ${ℝ}^3$, i en un punt de curvatura negativa a la d'un hiperboloide. Un important resultat de Gauss, el seu theorema egregium, afirma que la curvatura pot determinar-se enterament a partir de la mètrica de la superfície, és dir, no depén de lo encaixada que puga ser la superfície en l'espai tridimensional.

Més en general, es pot, per a qualsevol varietat riemanniana, construir un objecte complex cridat Tensor de curvatura de Riemann. En coordenades locals, l'expressió d'este tensor implica les components de g, i les seues derivades primera i segona. El tensor de curvatura és un objecte prou complex de comprendre. Per contracció en el tensor mètric construïm objectes més simples, el tensor de curvatura de Ricci i la curvatura escalar, que duen una part important de l'informació.

Una forma de representar la noció de curvatura és donar la curvatura seccional a lo llarc dels diferents 2-plans de l'espai tangente a la varietat. Es tracta de la curvatura gaussiana de la superfície formada per les geodèsiques d'estos dos plans. Esta forma de presentar l'informació és equivalent a donar el tensor de curvatura. L'idea general és que una curvatura seccional positiva indica una tendència de les geodèsiques a acostar-se entre sí, una curvatura negativa dona una tendència a alluntar-se entre sí.

Operadors de derivació

Archiu:Connection-on-sphere.png

Transport paralel d'un vector a lo llarc d'una curva tancada sobre una esfera. El vector ha girat des de la seua posició inicial per la curvatura de l'esfera.

Dos nocions tècniques estretament relacionades en la curvatura i la busca de geodèsiques són conexió afí i transport paralel a lo llarc d'una curva. Es tracta de procediments que permeten conectar vectores pertanyents a espais tangentes en punts distints de la varietat i, en conseqüència, derivar camps vectorials. En una varietat diferencial general, no hi ha cap manera privilegiada de fer açò. Per eixemple, no és possible donar sentit al vector d'acceleració d'una curva traçada en la varietat.

La propietat molt notable de les varietats riemannianas, que Marcel Berger no dubta en calificar de "milacre", és que existix una conexió naturalment associada a la mètrica, la conexió Levi-Civita. En efecte, es demostra que existix una conexió única que preserva l'estructura euclidiana quan conecta els diferents espais tangentes i que dona segones diferencials simètriques: esta afirmació que té un paper fundador es diu teorema fonamental de la geometria de Riemann. Utilisant la conexió Levi-Civita, és possible transportar un vector tangente a lo llarc d'una curva donada. La figura del costat mostra un eixemple de tal transport. Pero, en general, es pot fer càlcul diferencial de qualsevol orde sobre qualsevol tipo de tensors.

El tensor de curvatura de Riemann es definix a partir de la conexió Levi-Civita, que a la seua volta es deriva de la mètrica g. En esta presentació, la curvatura pot interpretar-se com la mida infinitesimal de l'error de tornada en l'orige per a un vector que es transporta a lo llarc d'una curva tancada. Algunes conferències sobre geometria riemanniana també introduïxen geodèsiques a partir de la noció de conexió.

També és possible construir una generalisació del Laplaciano per a l'entorn riemanniano: es tracta del operador de Laplace-Beltrami. Pot aplicar-se a funcions, o més en general, a formes diferencials, utilisant la Dual de Hodge.

Teoremes clàssiques en la geometria de Riemann

Lo que seguix és una llista no completa de les teoremes més clàssiques de la geometria de Riemann. L'elecció es fa depenent de la seua bellea, de l'importància i simplicitat de la formulació.

Teoremes generals

1. Teorema de Gauss-Bonnet L'integral de la curvatura de Gauss en una varietat de Riemann compacta de 2 dimensions és igual a $2\pi \chi (M)$, ací $\chi (M)$ denota la característica de Euler de M.
2. Teorema d'immersió de Nash també cridada Teorema Fonamental de la geometria de Riemann. Indiquen que cada varietat de Riemann pot ser isométricamente sumergida en un espai euclidiano Rⁿ.

Geometria en gran

En totes les teoremes següents assumim algun comportament local de l'espai (normalment formulat usant la suposició de curvatura) per a derivar alguna informació sobre l'estructura global de l'espai, incloent alguna informació sobre el tipo topològic de la varietat o sobre el comportament dels punts a distàncies "suficientment grans".

Pessic curvatura seccional

1. Teorema de l'esfera. Si M és una varietat riemanniana compacta n-dimensional simplement conexa en una curvatura seccional estrictament estretida entre 1/4 i 1, llavors M' ' és difeomorfo a una esfera.
2. Teorema de finitud de Cheeger. Donades les constants C, D i V, solament hi ha un número finito (fins al difeomorfismo) de Riemanniano compacte n-dimensional varietats en curvatura seccional |K| ≤ C, diàmetro ≤ D i volum ≥ V.
3. Varietats casi planes de Grómov. Hi ha un ε_n > 0 tal que si un n- La varietat riemanniana dimensional té una mètrica en curvatura seccional |K| ≤ ε_n i diàmetro ≤ 1, llavors la seua cobertura finita és difeomorfa a una varietat nula.

Curvatura seccional llimitada per davall

1. El teorema de l'ànima de Cheeger-Gromoll. Si M és una varietat de Riemann de n-dimensional no compacta completa no negativament curvada, llavors M conté una subvariedad S compacta, totalment geodèsica tal que M és difeomorfa al fes normal de S (S es diu el ànima de M .) En particular, si M té curvatura estrictament positiva en tots els llocs, llavors és difeomorfo a Rⁿ. GRAMO. Perelman en 1994 va donar una demostració asombrosamente elegant/breu de la conjectura de l'ànima: M és difeomorfa a Rⁿ si té una curvatura positiva en solament un punt
2. Teorema del número de Betti de Grómov. Existix una constant C = C(n) tal que si M és una n' conexa compacta varietat de Riemann '-dimensional en curvatura de secció positiva, llavors la suma de la seua número de Bettis és com a màxim "C".
3. Teorema de finitud de Grove-Petersen. Donades les constants C, D i V, solament hi ha un número finito de tipos d'homotopía de riemanniano compacte n-dimensional varietats en curvatura seccional K ≥ C, diàmetro ≤ D i volum ≥ V.

Curvatura seccional acotada per damunt

1. El teorema de Cartan–Hadamard establix que una varietat de Riemann M completa simplement conexa en curvatura seccional no positiva és difeomorfa al espai euclídeo Rⁿ en n = dim M per mig del mapa exponencial en qualsevol punt. Implica que dos punts qualssevol d'una varietat riemanniana completa simplement conectada en curvatura seccional no positiva estan units per una única geodèsica.
2. El fluix geodèsic de qualsevol colector riemanniano compacte en curvatura seccional negativa és ergòdic.
3. Si M és una varietat riemanniana completa en curvatura seccional llimitada per damunt per una constant k estrictament negativa, llavors és un Espai CAT(k). En conseqüència, la seua grup fonamental Γ = π₁(M) és Grómov hiperbòlic. Açò té moltes implicacions per a l'estructura del grup fonamental:

• és finitamente presentat;
• el problema de paraules para Γ té una solució positiva;
• el grup Γ té dimensió cohomológica virtual finita;
• conté només finitamente moltes classes de conjugacióés d'elements d'orde finito;
• els subgrups abelianos de Γ sò virtualment cíclicos, de modo que no conté un subgrup isomorfo a Z×Z.

curvatura de Ricci acotada avall

1. Teorema de Myers. Si una varietat riemanniana completa té curvatura de Ricci positiva, llavors la seua grup fonamental és finito.
2. Fòrmula de Bochner. Si una n -manifold riemanniana compacta té curvatura de Ricci no negativa, llavors el seu primer número de Betti és com a màxim n, en igualtat si i només si la manifold riemanniana és un bou pla.
3. Teorema de la divisió. Si una múltiple riemanniana completa n -dimensional té curvatura de Ricci no negativa i una llínea recta (és dir, una geodèsica que minimisa la distància en cada interval) llavors és isomètrica a un producte directe de la llínea real i una múltiple riemanniana completa (n-1)-dimensional que té curvatura de Ricci no negativa.
4. Desigualtat de Bishop-Grómov. El volum d'una bola mètrica de ràdio r en una varietat riemanniana completa n-dimensional en curvatura de Ricci positiva té un volum com a màxim igual al volum d'una bola del mateix radi r en l'espai euclídeo.
5. Teorema de la compacidad de Grómov. El conjunt de totes les varietats riemannianas en curvatura de Ricci positiva i diàmetro com a màxim D és precompacto en la mètrica de Grómov-Hausdorff.

Curvatura de Ricci negativa

1. l'isometría d'una varietat riemanniana compacta en curvatura de Ricci negativa és discret.
2. Qualsevol colector pla de dimensió n ≥ 3 admet una mètrica riemanniana en curvatura de Ricci negativa. (Açò no és cert per a superfícies).

Curvatura escalar positiva

1. El bou de n dimensions no admet una mètrica en curvatura escalar positiva.
2. Si el ràdio de inyectividad d'una varietat riemanniana compacta n -dimensional és ≥ π llavors la curvatura escalar mija és com a màxim n(n-1).

Vore també

• Anex:Glossari de la geometria de Riemann
• Élie Cartan
• Heinz Hopf
• Pável Aleksándrov
• Víktor Toponógov

Bibliografia

• (2000).«Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century».American Mathematical Society.17. (Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)
• (2008).«Comparison theorems in Riemannian geometry».AMS Chelsea Publishing.; Revised reprint of the 1975 original.
• (2004).«Riemannian geometry».Springer-Verlag..
• (2002).«Riemannian Geometry and Geometric Analysis».Springer-Verlag..
• (2006).«Riemannian Geometry».Springer-Verlag.
• From Riemann to Differential Geometry and Relativity (Lizhen Ji, Athanase Papadopoulos, and Sumio Yamada, Eds.) Springer, 2017, XXXIV, 647 p. ISBN 978-3-319-60039-0
• (2007).«Classification of manifolds with weakly 1/4-pinched curvatures».

Enllaços externs

• Geometria de Riemann en MathWorld.
• Riemannian geometry by V. A. Toponógov at the Encyclopedia of Mathematics