Hiperboloide

Archiu:Hyperboloid1.png

Hiperboloide

Hiperboloide d'un full. Hiperboloide d'un full. Hiperboloide de dos fulls. Hiperboloide de dos fulls.

La hiperboloide és la superfície de revolució generada per la rotació d'una hipérbola al voltant d'un dels seus dos eixos de simetria. Depenent de l'eix elegit, l'hiperboloide pot ser d'una o dos fulls.

Per a entendre-ho millor, es considera a continuació el cas de l'hipérbola de referència, l'equació de la qual és

$y=\frac{1}{x}$,

en el sistema de coordenades $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (vore l'esquema següent).

La revolució al voltant de l'eix de simetria roig genera un hiperboloide conexo, mentres que la rotació al voltant de l'eix blau, que travessa dos voltes l'hipérbola, dona un hiperboloide de dos fulls.

Equacions de l'hiperboloide

Equació Cartesiana

Archiu:Hiperboloide generación.png

Generació d'un hiperboloide.

Archiu:Superfície - hiperboloide de uma folha 02.jpg

Superfície matemàtica de l'hiperboloide d'un full

Archiu:Superfície - hiperboloide de uma folha.jpg

Superfície matemàtica de l'hiperboloide d'un full

Per a trobar les equacions d'estes superfícies, resulta més cómodo treballar en el sistema de coordenades $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, els eixos de les quals són els de simetria. Sean X i I les coordenades en este sistema, llavors tenim l'igualtat:

$X\overrightarrow{u}+Y\overrightarrow{v}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$

és dir

$X(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j})+Y(-\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j})=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$.

Després, identificant els coeficients de sengles vectores:

$\{\begin{array}{c}X-Y=x\\ X+Y=y\end{array}$

l'equació inicial s'escriu també xy = 1, és dir (X-Y)·(X+I) = 1, després: $X^2-Y^2=1$

Si es gira al voltant de l'eix I, de vector director $\overrightarrow{v}$, llavors s'otorga a la tercera coordenada Z el mateix paper que a X, per tant Z i X apareixen baix la mateixa forma en l'equació, concretament precedit del signe «+»:

$x^2+z^2-y^2=1$

De la mateixa manera, Si es gira al voltant de l'eix X, de vector director $\overrightarrow{u}$, llavors Z apareix baix la mateixa forma que I en l'equació, és dir en un signe «-»:

$x^2-y^2-z^2=1$

Reagrupant les coordenades del mateix signe, canviant els signes si hi ha dos negatius, i renombrando les variables per a obtindre l'orde habitual x,i,z, s'obté una d'estes dos equacions:

$x^2+y^2-z^2=1$           $x^2+y^2-z^2=-1$
(un full)                                  (dos fulls)

Es generalisen estos dos eixemples aixina: un hiperboloide és una cuádrica l'equació de la qual és, en un sistema de coordenades adequat, (en el centre situat en el centre de simetria, i els plans de la qual són plans de simetria de la superfície), de la forma:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\text{ (hiperboloide de una hoja) }\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1\text{ (hiperboloide de dos hojas) }$

Estes superfícies s'obtenen, de les mostrades en l'eixemple, estirant en la direcció dels $x$ pel factor $a$, multiplicant les distàncies en els $y$ per $b$, i en els $z$ per $c$. És dir que, fonamentalment, tenen la mateixa forma. En el cas particular que $a=b$, llavors l'hiperboloide és de revolució.

Equació paramètrica

En un espai euclídeo tridimensional, els punts de la superfície de l'hiperboloide poden ser parametrizados de la següent manera:

$\{\begin{array}{c}x=a\cosh (\theta )\cos (\varphi )\\ y=b\cosh (\theta )\mathrm{sen}(\varphi )\\ z=c\sinh (\theta )\end{array}\text{con }\theta \in ℝ,\text{ y }0<\varphi \le 2\pi \text{(Hiperboloide de una hoja)}$

$\{\begin{array}{c}x=a\sinh (\theta )\cos (\varphi )\\ y=b\sinh (\theta )\mathrm{sen}(\varphi )\\ z=c\cosh (\theta )\end{array}\text{con }\theta \in ℝ,\text{ y }0<\varphi \le 2\pi \text{(Hiperboloide de dos hojas)}$

Parametrización sense usar les funcions hiperbòliques:

$\{\begin{array}{c}x=a\sqrt{1+u^2}\cos (v)\\ y=b\sqrt{1+u^2}\mathrm{sen}(v)\\ z=cu\end{array}\text{con }0<v\le 2\pi ,\text{ y }u\in ℝ\text{(Hiperboloide de una hoja)}$

$\{\begin{array}{c}x=a\sqrt{u^2-1}\cos (v)\\ y=b\sqrt{u^2-1}\mathrm{sen}(v)\\ z=cu\end{array}\text{con }0<v\le 2\pi ,\text{ y }u\in ℝ\text{(Hiperboloide de dos hojas)}$

Àrea

La superfície d'un hiperboloide d'un full d'altura h, situat entre els plans $z=h/2$ i $z=-h/2$ i de secció travessera circular, és dir, $a=b$. La seua equació queda de la forma $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ .

Si $a=c$

$\acute{A}rea(S)=\pi a^2(\sqrt{2}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt{2}h}{2}\right)+\frac{h\sqrt{2h^2+4}}{2})$

Vore també

• Estructura hiperboloide
• Torre de Shújov