Funció hiperbòlica

Funció hiperbòlica

Curves de les funcions hiperbòliques sinh, cosh i tanh

Curves de les funcions hiperbòliques csch, sech i coth

Les funcions hiperbòliques són unes funcions les definicions de les quals es basen en la funció exponencial, estan lligades entre sí per mig d'operacions racionals i són anàlogues a les funciones trigonométricas.

En matemàtiques, les funcions hiperbòliques són anàlogues a les funcions trigonométricas ordinàries, pero definides usant l'hipérbola en lloc del círcul. Aixina com els punts (cos t, sen t) formen un círcul de radi unitari, els punts (cosh t, sinh t) formen la mitat dreta de l'hipérbola unitària. També, de forma similar a com les derivades de sense(t) i cos(t) són cos(t) i -sense(t) respectivament, les derivades de sinh(t) i cosh(t) són cosh(t) i +sinh(t) respectivament.

Les funcions hiperbòliques apareixen en els càlculs d'ànguls i distàncies en geometria hiperbòlica. També apareixen en les solucions de moltes equacions diferencials llineals (com l'equació que definix una catenària), equacions cúbiques, i equació de Laplace en coordenades cartesianas. Les equacions de Laplace són importants en moltes àrees de la física, incloent la teoria electromagnètica, la transferència de calor, la dinàmica de decorreguts i la relativitat especial.

Funcions hiperbòliques bàsiques

Les funcions hiperbòliques bàsiques són:

• sen hiperbòlic "sinh" (Plantilla:IPAc-en),
• coseno hiperbòlic "cosh" (Plantilla:IPAc-en),

de les que es deriven:

• tangente hiperbòlica "tanh" (Plantilla:IPAc-en),
• cosecante hiperbòlica "csch" o "cosech" (Plantilla:IPAc-en).
• secante hiperbòlica "sech" (Plantilla:IPAc-en),
• cotangente hiperbòlica "coth" (Plantilla:IPAc-en),

corresponents a les funcions trigonométricas derivades.

El sen hiperbòlic

$\sinh (x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

El coseno hiperbòlic

$\cosh (x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

La tangente hiperbòlica

$\tanh (x)=\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}$

i atres llínees:

$\coth (x)=\frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}$

(cotangente hiperbòlica)

$\text{sech}(x)=\frac{1}{\cosh (x)}$

(secante hiperbòlica)

$\text{csch}(x)=\frac{1}{\sinh (x)}$

(cosecante hiperbòlica)

Les funcions hiperbòliques inverses són:

• sen hiperbòlic d'àrea "arsinh" (també denotat "sinh^-1", "asinh" o a voltes "arcsinh")
• coseno hiperbòlic d'àrea "arcosh" (també denotat "cosh^-1", "acosh" o a voltes "arccosh").
• i aixina successivament.

Un raig a través de l'hipérbola unitària x² - i² = 1 en el punt (cosh a, sinh a), a on a és el doble de l'àrea entre el raig, l'hipérbola i l'eix x. Per a punts de l'hipérbola per baix de l'eix x, l'àrea es considera negativa (vore versió animada en comparació en les funcions trigonométricas (circulares)

.

Les funcions hiperbòliques prenen un argumente real cridat àngul hiperbòlic. El tamany d'un àngul hiperbòlic és el doble de l'àrea de la seua sector hiperbòlic. Les funcions hiperbòliques poden definir-se en térmens del cames d'un triàngul rectàngul que cobrix este sector.

En anàlisis complex, les funcions hiperbòliques sorgixen en aplicar les funciones sen i coseno ordinàries a un àngul imaginari. El sen i el coseno hiperbòlics són funcions sanceres. En conseqüència, les demés funcions hiperbòliques són meromórfica en tot el pla complex.

Per teorema de Lindemann-Weierstrass, les funcions hiperbòliques tenen un valor transcendental per a cada valor algebraic no nul de l'argument.

Les funcions hiperbòliques varen ser introduïdes en la década de 1760 de forma independent per Vincenzo Riccati i Johann Heinrich Lambert. Riccati va utilisar Sc. i Cc. (sinus/cosinus circulara) per a referir-se a les funcions circulares i Sh. i Ch. (sinus/cosinus hyperbolico) per a referir-se a les funcions hiperbòliques. Lambert va adoptar els noms, pero va alterar les abreviatures a les que s'usen hui en dia. Actualment també s'utilisen les abreviatures sh, ch, th, cth, depenent de les preferències personals.

Relació entre funcions hiperbòliques i funcions circulares

Les funcions trigonométricas sense(t) i cos(t) poden ser les coordenades cartesianas (x,i) d'un punt P sobre la circumferència unitària centrada en l'orige, a on és t l'àngul, medit en radianes, comprés entre el semieix positiu X, i el segment OP, segons les següents igualtats:

$\{\begin{array}{c}x(t)=\cos t\\ y(t)=\sin t\end{array}$

També pot interpretar-se el paràmetro t com la llongitut de l'arc de circumferència unitària comprés entre el punt (1,0) i el punt P, o com el doble del àrea del sector circular determinat pel semieix positiu X, el segment OP i la circumferència unitària.

Animació de la representació del sen hiperbòlic.

De modo anàlec, podem definir les funcions hiperbòliques, com les coordenades cartesianas (x,i) d'un punt P de l'hipérbola equilátera, centrada en l'orige, l'equació del qual és

$x^2-y^2=1$

sent t el doble de l'àrea de la regió compresa entre el semieix positiu X, i el segment OP i l'hipérbola, segons les següents igualtats:

$\{\begin{array}{c}x(t)=\cosh t\\ y(t)=\sinh t\end{array}$

No obstant, també pot demostrar-se que és vàlida la següent descripció de l'hipérbola:

$x(t)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$

$y(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$

ya que

${\left(\frac{e^t+e^{-t}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{e^t-e^{-t}}{2}\right)}^2=1$

De modo que el coseno hiperbòlic i el sen hiperbòlic admeten una representació en térmens de funcions exponencials de variable real:

$\cosh (t)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$

$\sinh (t)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$

Relacions

Equació fonamental

${\cosh }^2(x)-{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}}^2(x)=1$

Duplicació de l'argument

Es tenen les següents fòrmules molt similars als seus corresponents trigonométricas

$\cosh (x+y)=\cosh (x)\cosh (y)+\sinh (x)\sinh (y)$

$\cosh (x-y)=\cosh (x)\cosh (y)-\sinh (x)\sinh (y)$

que du a la següent relació:

$\cosh (2x)={\cosh }^2(x)+{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}}^2(x)$

i per una atra part

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x+y)=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)\cosh (y)+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(y)\cosh (x)$

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x-y)=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)\cosh (y)-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(y)\cosh (x)$

que du a:

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(2x)=2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)\cosh (x)$

es té esta atra relació

$\tanh (x+y)=\frac{\tanh (x)+\tanh (y)}{1+\tanh (x)\tanh (y)}$

que permet obtindre

$\tanh (2x)=\frac{2\tanh x}{1+{\tanh }^{2}x}$

Derivació i integració

En ser combinacions racionals de les funcions derivables i^x i i^-x , existixen derivades en els punts definits que tenen igualment semblances en funcions trigonométricas.

Totes es deduïxen a partir de:

$\frac{d}{dx}\frac{(e^x-e^{-x})}{2}$

Per tant, les derivades de les funcions trigonométricas són les següents:

$\frac{d}{dx}(\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{h}(x))=\cosh (x)$

$\frac{d}{dx}(\cosh (x))=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$

$\frac{d}{dx}(\tanh (x))={\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}}^2(x)$

$\frac{d}{dx}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x))=-{\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}}^2(x)$

$\frac{d}{dx}(\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}(x))=-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}(x)\tanh (x)$

$\frac{d}{dx}(\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}(x))=-\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}(x)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)$

Estes fòrmules conduïxen de manera anàloga les d'integració. Ademés l'integració en ser l'operació inversa de la derivació és trivial en este cas.

El gràfic de la funció cosh(x) es denomina catenària.

A continuació, les fòrmules d'integrals:

$\int \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)dx=\cosh (x)+C$

$\int \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)dx=\sinh (x)+C$

$\int {\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}}^2(x)dx=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)+C$

$\int {\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}}^2(x)dx=-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)+C$

$\int \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}(x)\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)dx=-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}(x)+C$

$\int \mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}(x)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)dx=-\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}(x)+C$

Relació en la funció exponencial

De la relació del coseno i sen hiperbòlic es poden derivar les següents relacions:

$e^x=\cosh x+\sinh x$

i

$e^{-x}=\cosh x-\sinh x.$

Estes expressions són anàlogues a les que estan en térmens de sens i cosenos, basades en la fòrmula de Euler, com sumixca d'exponencials complexos.

$e^{ix}=\cos x+i\sin x.$

Adicionalment,

$e^x=\sqrt{\frac{1+\tanh x}{1-\tanh x}}=\frac{1+\tanh \frac{x}{2}}{1-\tanh \frac{x}{2}}$

Expressions en forma de série de Taylor

És possible expressar explícitament la série de Taylor en zero (o la série de Laurent, si la funció no està definida en zero) de les funcions anteriors.

$\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Esta série és convergent para tot valor complex de x. ya que la funció sinh x és impar, solament els exponents impars de x apareixen en esta série de Taylor.

$\cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Esta série és convergent para tot valor complex de x. ya que la funció cosh x és parell, solament els exponents pares de x apareixen en esta série de Taylor.

La suma de les séries del sinh i cosh és l'expressió en forma de série de taylor de la funció exponencial.

Les següents séries s'obtenen de la descripció d'un subconjunt del seu ràdio de convergència, a on la série és convergent i la seua suma és igual a la funció.

$\begin{array}{cc}\tanh x& =x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},\left|x\right|<\frac{\pi }{2}\\ \coth x& =x^{-1}+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+\frac{2x^5}{945}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}{B}_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},0<\left|x\right|<\pi \\ \mathrm{sech}x& =1-\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}-\frac{61x^6}{720}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_{2n}{x}^{2n}}{(2n)!},\left|x\right|<\frac{\pi }{2}\\ \mathrm{csch}x& =x^{-1}-\frac{x}{6}+\frac{7x^3}{360}-\frac{31x^5}{15120}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(1-2^{2n-1})B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},0<\left|x\right|<\pi \end{array}$

a on:

$B_n$ és el n-ésimo número de Bernoulli

$E_n$ és el n-ésimo número de Euler

Taules de conversió

Funció	$\sinh$	$\cosh$	$\tanh$	$\coth$	$\mathrm{sech}$	$\mathrm{csch}$
$\sinh (x)=$	$\sinh (x)$	$\mathrm{sgn}(x)\sqrt{{\cosh }^2(x)-1}$	$\frac{\tanh (x)}{\sqrt{1-{\tanh }^2(x)}}$	$\frac{\mathrm{sgn}(x)}{\sqrt{{\coth }^2(x)-1}}$	$\mathrm{sgn}(x)\frac{\sqrt{1-{\mathrm{sech}}^2(x)}}{\mathrm{sech}(x)}$	$\frac{1}{\mathrm{csch}(x)}$
$\cosh (x)=$	$\sqrt{1+{\sinh }^2(x)}$	$\cosh (x)$	$\frac{1}{\sqrt{1-{\tanh }^2(x)}}$	$\frac{|\coth (x)|}{\sqrt{{\coth }^2(x)-1}}$	$\frac{1}{\mathrm{sech}(x)}$	$\frac{\sqrt{1+{\mathrm{csch}}^2(x)}}{|\mathrm{csch}(x)|}$
$\tanh (x)=$	$\frac{\sinh (x)}{\sqrt{1+{\sinh }^2(x)}}$	$\mathrm{sgn}(x)\frac{\sqrt{{\cosh }^2(x)-1}}{\cosh (x)}$	$\tanh (x)$	$\frac{1}{\coth (x)}$	$\mathrm{sgn}(x)\sqrt{1-{\mathrm{sech}}^2(x)}$	$\frac{\mathrm{sgn}(x)}{\sqrt{1+{\mathrm{csch}}^2(x)}}$
$\coth (x)=$	$\frac{\sqrt{1+{\sinh }^2(x)}}{\sinh (x)}$	$\mathrm{sgn}(x)\frac{\cosh (x)}{\sqrt{{\cosh }^2(x)-1}}$	$\frac{1}{\tanh (x)}$	$\coth (x)$	$\frac{\mathrm{sgn}(x)}{\sqrt{1-{\mathrm{sech}}^2(x)}}$	$\mathrm{sgn}(x)\sqrt{1+{\mathrm{csch}}^2(x)}$
$\mathrm{sech}(x)=$	$\frac{1}{\sqrt{1+{\sinh }^2(x)}}$	$\frac{1}{\cosh (x)}$	$\sqrt{1-{\tanh }^2(x)}$	$\frac{\sqrt{{\coth }^2(x)-1}}{|\coth (x)|}$	$\mathrm{sech}(x)$	$\frac{|\mathrm{csch}(x)|}{\sqrt{1+{\mathrm{csch}}^2(x)}}$
$\mathrm{csch}(x)=$	$\frac{1}{\sinh (x)}$	$\frac{\mathrm{sgn}(x)}{\sqrt{{\cosh }^2(x)-1}}$	$\frac{\sqrt{1-{\tanh }^2(x)}}{\tanh (x)}$	$\mathrm{sgn}(x)\sqrt{{\coth }^2(x)-1}$	$\mathrm{sgn}(x)\frac{\mathrm{sech}(x)}{\sqrt{1-{\mathrm{sech}}^2(x)}}$	$\mathrm{csch}(x)$

Funcions hiperbòliques inverses

Artícul principal → Funcions hiperbòliques inverses.

Les funcions hiperbòliques inverses són les funcions inverses de les funcions hiperbòliques. Per a un valor donat d'una funció hiperbòlica, la funció hiperbòlica inversa corresponent proporciona l'àngul hiperbòlic.

Vore també

• Trigonometria
• Logaritmo natural
• Número i
• Hipérbola

Bibliografia

• Bugrov Ya. S., Nikolsky S. M. Matemàtiques superiors. Equacions diferencials. Integrals múltiples. Files. Funcions de variable complexa. - Moscou: Nauka, 1985. - S. 464.
• Shervatov V. G. Funcions hiperbòliques - Gostekhizdat, 1954. - 58 p. - ( Classes populars de matemàtiques ). — 25.000 còpies.
• A.R. Yanpolsky. funcions hiperbòliques. - Moscou, 1960. - 195 p.

Enllaços externs

Hyperbolic functions en Wikimedia Commons.

• {{{1}}} en Springer
• Hyperbolic functions on PlanetMath
• GonioLab: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions (Java Web Start)
• Web-based calculator of hyperbolic functions