Llongitut d'arc

En matemàtica, la llongitut d'arc, també cridada rectificació d'una curva, és la mida de la distància o camí recorregut a lo llarc d'una curva o dimensió llineal. Històricament, ha segut difícil determinar esta llongitut en segments irregulars; encara que varen ser utilisats varis métodos per a curves específiques. L'arribada del càlcul va dur en si la fòrmula general per a obtindre solucions tancades per a alguns casos.

Càlcul per mig d'integrals

En considerar una curva definida per una funció $f(x)$ i la seua respectiva derivada $f^{\prime }(x)$ que són contínues en un interval $[a,b]$, la llongitut $s$ de l'arc delimitat per $a$ i $b$ és donada per l'equació:

(1) $s=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+{\left[f^{\prime }\left(x\right)\right]}^2}\text{d}x$

En el cas d'una curva definida paramétricamente per mig de dos funcions depenents de t com $x=f\left(t\right)$ i $y=g\left(t\right)$, la llongitut de l'arc des del punt $(f(a),g(a))$ fins al punt $(f(b),g(b))$ es calcula per mig de:

(2) $s=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{{\left[f^{\prime }\left(t\right)\right]}^2+{\left[g^{\prime }\left(t\right)\right]}^2}\text{d}t$

Si la funció està definida per coordenades polars a on la coordenades radial i l'àngul polar estan relacionats per mig de $r=f(\theta )$, la llongitut de l'arc comprés en l'interval $[\alpha ,\beta ]$, pren la forma:

(3) $s=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\sqrt{[f(\theta ){]}^2+{[f^{\prime }(\theta )]}^2}\text{d}\theta$

En la majoria dels casos, no hi ha una solució tancada disponible i serà necessari usar métodos d'integració numèrica. Per eixemple, aplicar esta fòrmula a la circumferència d'una elipse durà a una integral elíptica de segona espècie. Entre les curves en solucions tancades estan la catenària, el círcul, la cicloide, l'espiral logarítmica, la paràbola, la paràbola semicúbica i la llínea recta.

Un cas una miqueta més general que l'últim, és el cas de coordenades curvilíneas generals (i inclús el d'espais no euclídeos) caracterisades per un tensor mètric $g_{ik}$ a on la llongitut d'una curva $C:[a,b]\to M$ ve donada per:

Per eixemple el cas de coordenades polars s'obté d'est fent $x^1=r,x^2=\theta ;g_{11}=1,g_{22}=r^2,g_{12}=g_{21}=0;r=f(\theta ),t=\theta$.

Eixemples de càlcul

El perímetro d'una circumferència de ràdio R pot calcular-se a partir de l'equació d'esta curva en coordenades polars

$f(\theta )=R,0\le \theta \le 2\pi$

Per a calcular el perímetro s'utilisa llavors l'equació (3)

$s=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\sqrt{[f(\theta ){]}^2+{[f^{\prime }(\theta )]}^2}\text{d}\theta =R\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\text{d}\theta =2\pi R$

S'obté que el perímetro d'una circumferència és proporcional al diàmetro, lo que es correspon en la definició de pi.

Per a determinar la llongitut d'un arc de circumferència, basta restringir l'àngul d'agranada de la curva a un interval més menut.

$f(\theta )=R,{\theta }_0\le \theta \le {\theta }_1$

La llongitut de l'arc queda

$s=\underset{{\theta }_0}{\overset{{\theta }_1}{\int }}\sqrt{[f(\theta ){]}^2+{[f^{\prime }(\theta )]}^2}\text{d}\theta =R\cdot ({\theta }_1-{\theta }_0)$