Espiral logarítmica

Una espiral logarítmica, espiral equiangular o espiral de creiximent és una classe de curva espiral que apareix freqüentment en la naturalea. El seu nom prové de l'expressió d'una de les seues equacions: $\theta ={\log }_b(r/a)$

Archiu:Espiral logaritmica-5g.svg

Espiral logarítmica (grau 5.º).

Història

Archiu:Basler Muenster Bernoulli.jpg

Tomba de Bernoulli en Basilea.

El terme espiral logarítmica es deu a Pierre Varignon. L'espiral logarítmica va ser estudiada per Descartes i Torricelli, pero la persona que li va dedicar un llibre va ser Jakob Bernoulli, que la va cridar Spira mirabilis «l'espiral maravellosa». D'Arcy Thompson li va dedicar un capítul del seu tractat On Growth and Form«Sobre creiximent i forma» (1917).

Bernoulli va triar la figura de l'espiral logarítmica com a emblema i l'epitafi en llatí Eadem mutata resurgo ("Mutante i permanent, torne a resorgir sent el mateix") per a la seua tomba; contràriament al seu desig de que anara tallada una espiral logarítmica (constant en el creiximent de la seua ràdio), l'espiral que varen tallar els mestres canteros en la seua tomba va ser una espiral de Arquímedes (constant en la diferència dels radis). [1] L'espiral logarítmica es distinguix de l'espiral de Arquímedes pel fet de que les distàncies entre el seu braços s'incrementen en progressió geomètrica, mentres que en una espiral de Arquímedes estes distàncies són constants.

Eadem mutata resurgo i l'espiral logarítmica és també l'emblema del Colege de Patafísica.

Jakob Bernoulli va escriure que l'espiral logarítmica pot ser utilisada com un símbol, be de fortalea i constància en l'adversitat, o be com a símbol del cos humà, el qual, despuix de tots els canvis i mutacions, inclús despuix de la mort, serà restaurat a la seua Ser perfecte i exacte. ^{[enllaç trencat]}

Equacions

Archiu:Logarithmic spiral 5d.gif

Espiral logarítmica 5.º

En coordenades polars (r, θ) la fòrmula de la curva pot escriure's com

$r=a{b}^{\theta }$

o be

$\theta ={\log }_b(r/a)$ , d'ací el nom "logarítmica"

i en forma paramètrica com

$x(\theta )=a{b}^{\theta }\cos (\theta )$

$y(\theta )=a{b}^{\theta }\mathrm{sen}(\theta )$

en número real positius a i b. a és un factor d'escala que determina el tamany de l'espiral, mentres b controla cuan forta i en que direcció està enrollada. Per a |b| >1 l'espiral s'expandix en un increment θ, i per a |b| <1 es contrau.

En geometria diferencial, l'espiral pot definir-se com una curva c(t) en un àngul constant α entre el radi i el vector tangente

$\arccos \frac{⟨𝐜(t),{𝐜}^{\prime }(t)⟩}{\Vert 𝐜(t)\Vert \Vert {𝐜}^{\prime }(t)\Vert }=\alpha$

Si α = 0 l'espiral logarítmica degenera en una llínea recta.

Si α = ± π / 2 l'espiral logarítmica degenera en una circumferència.

Vore també

• Espiral
• Espiral de Fermat
• Espiral de Ulam
• Espiral hiperbòlica
• Fractal
• Número áureo
• Pentagrama (geometria)
• Número i