Espiral hiperbòlica

Espiral hiperbòlica. a=1

Una espiral hiperbòlica és una curva plana transcendental, també coneguda com a espiral recíproca. Es definix per l'equació polar rθ = a, i és l'inversa de l'espiral de Arquímedes.

Pierre Varignon va estudiar per volta primera la curva en 1704. Més vesprada, Johann Bernoulli i Roger Cotes també varen treballar en la curva.

Equació

L'espiral hiperbòlica té la següent equació polar:

$r=\frac{a}{\theta }$

Comença en una distància infinita del pol central (para θ començant des de zero, r = a/θ comença des de l'infinit), i es enrolla cada volta més ràpidament mentres s'aproxima al pol central, la distància de qualsevol punt al pol, seguint la curva, és infinit. Aplicant la transformació des del sistema de coordenades polars:

$x=r\cos \theta ,y=r\mathrm{sen}\theta ,$

conduïx a la següent representació paramètrica en coordenades cartesianas:

$x=a\frac{\cos t}{t},y=a\frac{\mathrm{sen}t}{t},$

a on el Paràmetro t és un equivalent de θ en les coordenades polars.

Propietats

La llongitut de la subtangente polar d'una espiral hiperbòlica és constant.

L'espiral té una asíntota en i = a: quan t s'aproxima a zero, l'ordenada s'aproxima cap a a, mentres que l'abscissa creix fins a l'infinit:

$\underset{t\to 0}{\lim }x=a\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\cos t}{t}=\mathrm{\infty },$

$\underset{t\to 0}{\lim }y=a\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sen}t}{t}=a\cdot 1=a.$

La llongitut de la subtangente polar d'una espiral hiperbòlica és constant.

Vore també

• Espiral logarítmica
• Coordenades polars
• Espiral de Fermat
• Espiral de Arquímedes
• Arquímedes