Espiral de Ulam

Espiral de Ulam

Els quarantanou primers número entero, en espiral.

L'espiral de Ulam, descrita pel matemàtic polac Stanisław Marcin Ulam (1909-1984), és una forma de representació gràfica de número primo que mostra un patró.

En 1963, Ulam, avorrit durant una conferència científica, estava fent garabatos en un full de paper. Va dispondre una malla de números en espiral, escomençant pel 1 en el centre, el 2 a la seua dreta, el 3 dalt, el 4 damunt de l'1, el 5 a l'esquerra, i aixina successivament. Posteriorment, va marcar els número primo i va descobrir que els números marcats tendien a alinear-se a lo llarc de llínees diagonals.

Espiral de Ulam.

Tots els número primo, llevat el 2, són impars. Com en l'espiral de Ulam algunes diagonals contenen número impar i unes atres contenen número par, no sorprén vore cóm els número primo cauen tots (llevat el 2) en diagonals alternes. No obstant, entre les diagonals que contenen número impar, unes contenen una proporció visiblement major que unes atres de número primo.

Les proves que s'han fet fins ara confirmen que, inclús si s'estén molt l'espiral, se seguixen mostrant eixes diagonals. El patró es mostra igualment encara que el número central no siga 1 (en efecte, pot ser molt major que 1). Açò significa que hi ha moltes constants sanceres b i c tals que la funció

$f(n)=4n^2+bn+c$

genera, a mida que creix n a lo llarc dels naturals {1, 2, 3, ...}, una gran cantitat de número primo en comparació a la proporció de cosins existent en números de magnitut similar. Esta troballa va ser tan célebre que l'espiral de Ulam va aparéixer en la portada de la revista Scientific American en març de 1964.

Espiral de Ulam. Note's cóm els número primo estan més presents en unes diagonals que en unes atres.

A una distància suficient del centre, també s'aprecien clarament llínees horisontals i verticals.

Existixen atres variants de l'espiral de Ulam, tals com l'espiral de Sacks, que també mostren patrons sense explicació aparent.

Vore també

• Funció φ de Euler