Espiral de Sacks

Espiral de Sacks, mostrant certs patrons que posseïxen els número primo.

L'espiral de Sacks és una variant de l'espiral de Ulam i va ser descrita en 1994 per Robert Sacks. Es diferencia de l'espiral de Ulam per tres característiques: els punts s'ubiquen sobre una espiral de Arquímedes en lloc de sobre una espiral quadrada com va utilisar Ulam, s'ubica el zero en el centre de l'espiral, i es realisa un gir complet per a cada quadrat perfecte mentres que en l'espiral de Ulam s'ubiquen dos quadrats per gir o rotació. Algunes curves que comencen en l'orige semblen tindre una gran densitat de número primo; una d'estes curves per eixemple conté números del tipo n² + n + 41, que és un famós polinomi abundant en número primo que descobrira Leonhard Euler en 1774. Es desconeix fins a quin punt les curves de l'espiral permeten predir grans número primo o composts.

Construcció

La posició de cada número natural es representa per mig de coordenades polars per:

• $a=\sqrt{n}$

a on a representa un número de rotacions, i no un àngul en radianes ni en graus.

Algunes alliniacions d'interés

• Alliniacions lliures de número primo:
  • Semirrecta horisontal dreta: quadrats perfectes
  • Llínea immediatament inferior: números de la forma n² - 1, divisibles sempre per n+1 i n-1
  • Semirrecta horisontal esquerra: números de la forma n² + n, divisibles sempre per n i n+1.

• Curves aparentment denses en número primo:
  • Una espiral que, en l'ilustració, termina prop de la part inferior del disc: números de la forma n² + n + 41, el polinomi descobert per Euler.
  • Una atra espiral situada 24 llocs per damunt de l'anterior: números de la forma n² + n + 17
  • Llínea immediatament superior a la semirrecta horisontal esquerra: números de la forma n² + n - 1

Referències

• .