Funciones parell i impar

En l'estudi de les funcions reals de variable real, si considerem el punt $(x,f(x))$, nos interessa el comportament de $f$ quan es pren el $-x$. Pot succeir que $f(x)$ obtinga el mateix resultat que $f(-x)$, en el cas del qual es tracta d'una funció parell. També pot succeir que per a $f(-x)$, s'obtinga $-f(x)$ de modo que el resultat no és el mateix que el de $f(x)$, en el cas del qual es tracta d'una funció impar. En l'aspecte geomètric la no variació de $f(x)$ en canviar $x$ a $-x$, revela simetria de la gràfica de $f$ respecte a l'eix Y. La variació de $f(x)$ a $-f(x)$ en reemplaçar $x$ per $-x$, indica simetria respecte a l'orige de coordenades. Entre les funcions reals hi ha funcions pares, impars i que no assumixen cap dels casos mencionats. Per eixemple $f(x)=\ln x$, no és parell ni impar, ya que no podem definir esta funció per a número real negatius.

També una funció parell es definix en àlgebra com a f(x),i una funció impar es definix com a f(-x).

Les funcions pares i impars són usades en moltes àrees del anàlisis matemàtic, especialment en la teoria de les séries de potències i séries de Fourier.

Funcions pares

Archiu:Función par 01.svg

Gràfica d'una funció parell.

Una funció parell és una funció que satisfà la relació $f(x)=f(-x)$ i si $x$ i -x estan en el domini de la funció.

Des d'un punt de vista geomètric, la gràfica d'una funció parell és simètrica sobre l'eix i, lo que vol dir que el seu gràfica no s'altera després d'una reflexió sobre l'eix i.

Eixemples de funcions pares són la funció valor absolut f(X)= |x|, les funcions elementals f(x)=x², f(X)= x⁴, f(X)= cosx; una funció hiperbòlica f(X)= cosh(x), totes definides en ℝ, l'ampliació f(x)=ln|x| de ln, en domini ℝ-{0}; la funció f(x)= 1/|x|, reflexió parcial, en eix Ox, de f(x) =1/x en el seu subdomini <-∞; o>.

Definició formal

El terme funció parell sol referir-se a una classe especial de funcions de variable real: una funció $f:ℝ\to ℝ$ és una funció parell si para $x\in ℝ$ es complix la següent relació:

$f(-x)=f(x)$

La definició anterior pot generalisar-se a funcions sobre dominis més generals. Si A és un conjunt en certa estructura algebraica en la que existixquen inversos aditius (per eixemple, els número complejo C), una funció parell seria tota funció:

$\begin{array}{cccc}f:& A& \to & B\\ & a& \to & b=f(a)\end{array}$

que complixca:

$\mathrm{\forall }a\in A:f(-a)=f(a)$

La definició de funció parell presupon que si $a\in A$ llavors necessàriament $-a\in A$, de no ser aixina no es podria definir $f(-a)$.

Eixercici d'eixemple

La funció:

$f(x)=x^2+1$

és parell ya que per a qualsevol valor de x es complix:

$f(-x)=(-x{)}^2+1$

$f(-x)=x^2+1$

$f(-x)=f(x)$

Comprovant que la funció és parell.

Si x=2, llavors:

$f(-2)=(-2{)}^2+1=4+1=5=2^2+1=f(2)$

Funcions impars

Archiu:Función impar 01.svg

Gràfica d'una funció impar

Una funció impar és qualsevol funció que satisfà la relació:

$f(-x)=-f(x)$

per a tot $x$ en el domini de $f$.

Des d'un punt de vista geomètric, una funció impar posseïx una simetria rotacional sobre l'orige de coordenades, lo que vol dir que la seua gràfica no s'altera després d'una rotació de 180 graus al voltant de l'orige.

Eixemples de funcions impars són x, x³, sen(x), sinh(x), i l'erf (x).

Eixemple

La funció:

$f(x)=\frac{1}{x}$, que la seua gràfica és la hipérbola simètrica respecte a l'orige

J és impar, ya que:

$f(-x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-f(x)$

en este cas la funció no està definida en el punt $x=0$.

Si veem la funció:

$f(x)=x^3$

Podem vore que es complix:

$f(-x)=(-x{)}^3$

$f(-x)=(-1\cdot x{)}^3$

$f(-x)=(-1{)}^3\cdot x^3$

$f(-x)=-1\cdot x^3$

$f(-x)=-1\cdot f(x)$

$f(-x)=-f(x)$

I esta funció si passa pel punt (0,0).

Vore també

• Funció hermítica
• Funció periòdica
• Funció matemàtica