Gràfica d'una funció

Gràfica d'una funció

En un sistema de coordenades cartesianas s'han representat les curvas d'algunes raïls, aixina com de les seues potencies, en l'interval [0,1]. La diagonal, d'equació i = x, és eix de simetria entre cada curva i la curva de la seua inversa.

En matemàtiques, la gràfica d'una funció és un tipo de representació gràfica que permet conéixer intuitivamente el comportament de dita representació i ajuda més en els números

$y=se{n}^2(x+1)$

el gràfic és el conjunt de tots els parells ordenats (x, f(x)) de la funció f, és dir, com un subconjunt del producte cartesiano X×I. Es representa gràficament per mig d'una correspondència entre els elements del conjunt domini i els de el conjunt image.

Les úniques funcions que es poden establir de forma no ambigua per mig de llínees, són les d'una sola variable, en un sistema de coordenades cartesianas, a on cada abscissa representa un valor de la variable del domini i cada coordenada representa el valor corresponent del conjunt image. Si la funció és contínua, llavors la gràfica formarà una llínea recta o curva. En el cas de funcions de dos variables és possible visualisar-les de forma unívoca per mig d'una proyecció geomètrica, pero a partir de tres variables tan sol és possible visualisar corts (en un pla) de la funció per als que els valors de totes les variables, llevat dos, permaneixquen constants. Alguns software de representació usen ademés colors, o curves de nivell la qual cosa es pot conseguir una representació satisfactòria.

El concepte de gràfica d'una funció es generalisa a la gràfica d'una relació. Notar que si ben cada funció té una única representació gràfica, poden existir vàries funcions que tinguen la mateixa, pero en dominis i codominios diferents.

Definició de Domini

Donada una funció $f:ℝ\to ℝ$, es diu domini als valors d'orige $D$ en els que està definida, és dir, $x\in D\subset ℝ$ si $\mathrm{\exists }y\in ℝ$ tal que $y=f(x)$:

Casos segons l'interval $D$:

• a<x<b|∃y=f(x)
  $a<x<b|\mathrm{\exists }y=f(x)$
• a<x≤b|∃y=f(x)
  $a<x\le b|\mathrm{\exists }y=f(x)$
• a≤x<b|∃y=f(x)
  $a\le x<b|\mathrm{\exists }y=f(x)$
• a≤x≤b|∃y=f(x)
  $a\le x\le b|\mathrm{\exists }y=f(x)$

Anàlisis d'una funció en un punt

En una funció real del tipo:

$\begin{array}{cccc}f:& ℝ& ⟶& ℝ\\ & x& ⟼& y=f(x)\end{array}$

En analisar esta funció en un punt $x=a$ i l'entorn de a, apareixen els següents casos:

$\mathrm{F}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{i}\acute{\mathrm{o}}\mathrm{n}\{\begin{array}{c}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{a}\{\begin{array}{c}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\\ \mathrm{N}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\end{array}\\ \mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{a}\{\begin{array}{c}\mathrm{E}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\\ \mathrm{E}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}\{\begin{array}{c}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\{\begin{array}{c}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{o}\\ \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{o}\\ \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\acute{\mathrm{o}}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\end{array}\\ \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\end{array}\end{array}\end{array}$

Una norma mnemotècnica per a l'estudi de la continuïtat consistix en vore si per a traçar la gràfica d'una funció es té que alçar o no el llapis, en cas afirmatiu direm que la funció no és contínua o que hi ha algun tipo de discontinuidad.

Punts de continuïtat

AP

Definida una funció: f, dels número real, sobre els número real, a on a cada x real se li associa una i real, representat i = f(x):

$\begin{array}{cccc}f:& R& ⟶& R\\ & x& ⟼& y=f(x)\end{array}$

Sí a mida que la variable x s'aproxima a un valor a, la variable i s'aproxima a un valor L, direm que L és el llímit de f quan x tendix a a:

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$

Si una funció té llímit en un punt eixe llímit ha de ser únic (unicitat del llímit), el valor del llímit, en cas d'existir no té per qué coincidir en el valor de la funció en eixe punt.

Si una funció té llímit en un punt, i el valor del llímit és el mateix que el valor de la funció en eixe punt, es diu que la funció és contínua en eixe punt:

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L=f(a)$

Funció contínua i derivable

Vejam alguns casos de funcions contínues i derivables en un punt.

Si la funció és una recta:

Punts tangencials:

Erro al crear miniatura:

Archiu:Función continua en a; 16-08 6251.svg

Archiu:Función continua en a; 16-08 6273.svg

Funció contínua i derivable, en derivada en a distinta de zero i punt d'inflexió:

Archiu:Función continua en a; 16-08 2617.svg

Erro al crear miniatura:

Archiu:Función continua en a; 16-08 6271.svg

Archiu:Función continua en a; 16-08 6253.svg

Funció contínua i derivable, en derivada en a igual a zero i punt estacionario: extrem relatiu o punt d'inflexió.

Archiu:Función continua en a; 16-08 4433.svg

Archiu:Función continua en a; 16-08 4455.svg

Archiu:Función continua en a; 16-08 4435.svg

Archiu:Función continua en a; 16-08 4453.svg

Funció contínua i no derivable

Vejam alguns eixemples de funcions contínues no derivables:

els dos primers eixemples són no derivables per tindre una derivada infinita en a:

Archiu:Función continua en a; 16-08 0817.svg

Archiu:Función continua en a; 16-08 8071.svg

punt anguloso en a en un valor intermig:

Archiu:Función continua en a; 16-06 1526.svg

Archiu:Función continua en a; 16-10 7362.svg

punt anguloso en a que és un extrem relatiu.

Archiu:Función continua en a; 16-04 2231.svg

Archiu:Función continua en a; 16-12 6675.svg

Punts de discontinuïtat

AP En els punts extrems de cada interval de definició de la funció, o en els punts intermijos dels intervals d'existència, que presenten discontinuidad, es presenta un punt de discontinuidad, que pot ser d'algun d'estos tipos:

Galeria de discontinuïtats

Archiu:Función xy discontinua 25.svg	Archiu:Función xy discontinua 35.svg	Archiu:Función xy discontinua 15c.svg	Archiu:Función xy discontinua 15a.svg
$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }\\ \\ \nexists \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)\end{array}$	$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }\\ \\ \nexists \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)\end{array}$	$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=L\\ \\ \nexists \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)\end{array}$	$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=L\\ \\ \nexists \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)\\ \\ f(a)=L\end{array}$
De segona espècie.	De segona espècie.	De segona espècie.	De segona espècie.

Archiu:Función xy discontinua 52.svg	Archiu:Función xy discontinua 53.svg	Archiu:Función xy discontinua 51c.svg	Archiu:Función xy discontinua 51a.svg
$\{\begin{array}{c}\nexists \underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)\\ \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }\end{array}$	$\{\begin{array}{c}\nexists \underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)\\ \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }\end{array}$	$\{\begin{array}{c}\nexists \underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)\\ \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=L\end{array}$	$\{\begin{array}{c}\nexists \underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)\\ \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=L\\ \\ f(a)=L\end{array}$
De segona espècie.	De segona espècie.	De segona espècie.	De segona espècie.

Archiu:Función xy discontinua 22.svg	Archiu:Función xy discontinua 32.svg	Archiu:Función xy discontinua 23.svg	Archiu:Función xy discontinua 33.svg
$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }\\ \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }\end{array}$	$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }\\ \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }\end{array}$	$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }\\ \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }\end{array}$	$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }\\ \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }\end{array}$
Asintòtica.	Asintòtica.	Asintòtica.	Asintòtica.

Archiu:Función xy discontinua 12c.svg	Archiu:Función xy discontinua 12a.svg	Archiu:Función xy discontinua 13c.svg	Archiu:Función xy discontinua 13a.svg
$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=L\\ \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }\end{array}$	$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=L\\ \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }\\ \\ f(a)=L\end{array}$	$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=L\\ \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }\end{array}$	$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=L\\ \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }\\ \\ f(a)=L\end{array}$
De bot infinit.	De bot infinit.	De bot infinit.	De bot infinit.

Archiu:Función xy discontinua 21c.svg	Archiu:Función xy discontinua 21a.svg	Archiu:Función xy discontinua 31c.svg	Archiu:Función xy discontinua 31a.svg
$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }\\ \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=L\end{array}$	$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }\\ \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=L\\ \\ f(a)=L\end{array}$	$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }\\ \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=L\end{array}$	$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }\\ \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=L\\ \\ f(a)=L\end{array}$
De bot infinit.	De bot infinit.	De bot infinit.	De bot infinit.

Archiu:Función xy discontinua 11f.svg	Archiu:Función xy discontinua 11g.svg	Archiu:Función xy discontinua 11e.svg	Archiu:Función xy discontinua 11c.svg
$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=L1\\ \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=L2\\ \\ L1\ne L2\end{array}$	$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=L1\\ \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=L2\\ \\ L1\ne L2\end{array}$	$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=L1\\ \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=L2\\ \\ L1\ne L2\end{array}$	$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=L\\ \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=L\\ \\ \nexists f(a)\end{array}$
De bot finito.	De bot finito.	De bot finito.	Evitable

Vore també

• Geometria analítica
• Punt crític
• Derivada
• Epigrafo
• Pendent
• Concavidad

Ferramentes per a dibuixar la gràfica d'una funció

• Calculadora gràfica
• Osciloscopi
• Instrument de medició
• Paper milimetrado
• Ferramentes de dibuix