Correspondència matemàtica

Plantilla:Relació binaria 200 Daus dos conjunts: $X$ i $Y$, i una funció $f$, que determina alguna relació binaria entre algun element de $X$ en algun element de $Y$, direm que eixa funció: $f$, definix una correspondència entre $X$ i $Y$, que representarem:

$f:X\to Y$

quan a lo manco un element de $X$ està relacionat en a lo manco un element de $Y$.

Un eixemple

Archiu:Correspon 00.svg	Archiu:Correspon 01.svg
Archiu:Correspon 02.svg	Archiu:Correspon 04.svg

Si tenim una série d'objectes, com els tubos de pintura i els pinzells, i diferenciem per un costat els tubos i per un atre els pinzells, i associem a cada tubo en el pinzell que té el mateix color de pintura, tenim una relació color de la pintura entre cada tubo i cada pinzell que tinga el mateix color.

Archiu:Correspon 20.svg

Archiu:Correspon 21.svg

Archiu:Correspon 22.svg

Archiu:Correspon 23.svg

Archiu:Correspon 24.svg

Archiu:Correspon 25.svg

En este eixemple, podem definir un conjunt $T$ de tubos de pintura i un atre $P$ de pinzells i associar a cada tubo del conjunt $T$, el pinzell del conjunt $P$ que tinga el seu mateix color, esta associació la representarem en una flecha del tubo al pinzell corresponent.

Pot donar-se el cas que tingam un tubo d'un color pero no un pinzell en el mateix color de pintura, com en l'eixemple hi ha un tubo de color roig pero no hi ha cap pinzell en pintura de color roig, per lo tant del tubo roig no ix cap flecha.

Pot ser que tingam un tubo d'un color i varis pinzells en pintura d'eixe mateix color, aixina en l'eixemple hi ha un tubo vert i dos pinzells en pintura verda, del tubo de color vert ixen dos fleches una fins a cada pinzell en pintura verda.

Archiu:Correspon 0101.svg

També pot ser que tingam més d'un tubo d'un mateix color i un sol pinzell en eixa pintura, en este cas, com en l'eixemple, dels dos tubos blaus ixen les dos fleches fins a l'únic pinzell en pintura blava, aplegant dos fleches al pinzell blau, una de cada u dels tubos de color blau, com es veu en la figura.

En la figura de l'eixemple es veu un pinzell en pintura groga, pero no hi ha cap tubo de pintura groga, per tant a este pinzell no aplega cap flecha.

En resum la correspondència mateix color de la pintura entre un conjunt $T$ de tubos de pintura, i un atre conjunt $P$ de pinzells, existix en tanto en cuanto a lo manco un tubo de pintura té el mateix color que un dels pinzells, podent ser eixa relació tan senzilla o tan complexa com es vullga.

En una correspondència matemàtica els conjunts no tenen que ser necessàriament numèrics, ni la relació entre els seus elements operacions aritmètiques, sense que per això deixe de ser matemàtica.

Definicions

Archiu:Correspondencia 01.svg

Archiu:Correspon 0602.svg

En una correspondència podem distinguir distints conjunts:

• Conjunt inicial: és el primer de la correspondència, és este cas $X$, ho representarem: $in(f)$, segons l'eixemple:

$X=\mathrm{i}\mathrm{n}(f)=\{1,2,3,4\}$

En el segon eixemple, tenim una correspondència entre un conjunt de pinzells $P$ i un conjunt de cares $C$ que hem pintat en eixos pinzells, la correspondència associa a cada pinzell la cara del mateix color, en este eixemple el conjunt inicial serà:

$P=\mathrm{i}\mathrm{n}(color)=\{$

Archiu:Correspon caps block 2 .svg,

Archiu:Correspon caps block 3 .svg,

Archiu:Correspon caps block 4 .svg,

Archiu:Correspon caps block 5 .svg

$\}$

• Conjunt final: és el segon de la correspondència en este cas $Y$, ho representarem com $fin(f)$, segons l'eixemple:

$Y=\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}(f)=\{a,b,c,d\}$

En l'eixemple dels pinzells i les cares el conjunt final està format per:

$C=\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}(color)=\{$

Archiu:Correspon caps block 6 .svg,

Archiu:Correspon caps block 7 .svg,

Archiu:Correspon caps block 8 .svg,

Archiu:Correspon caps block 9 .svg

$\}$

• Conjunt orige: és el format pels elements del conjunt inicial, que estan relacionats en algun element del conjunt final, ho representarem $or(f)$, en l'eixemple serà:

$\mathrm{o}\mathrm{r}(f)=\{2,3\}$

Els pinzells dels que hi ha una cara pintada és el conjunt orige, de la correspondència mateix color:

$\mathrm{o}\mathrm{r}(color)=\{$

Archiu:Correspon caps block 10 .svg,

Archiu:Correspon caps block 11 .svg,

Archiu:Correspon caps block 12 .svg

$\}$

• Conjunt image: és el format pels elements del conjunt final en els que estan relacionats els elements del conjunt orige, ho representarem $Im(f)$, en l'eixemple:

$\mathrm{I}\mathrm{m}(f)=\{c,d\}$

Les cares per a les que hi ha un pinzell del seu color és el conjunt image:

$\mathrm{I}\mathrm{m}(color)=\{$

Archiu:Correspon caps block 13 .svg,

Archiu:Correspon caps block 14 .svg,

Archiu:Correspon caps block 15 .svg

$\}$

• Elements homòlecs: dos elements, un del conjunt orige i un atre del conjunt image, es diu que són homòlecs, si estan relacionats segons la correspondència $f$, en l'eixemple els següents parells ordenades són homòlecs:

$(2,d),(3,c)$

Els parells ordenats formats per un pinzell i una cara del mateix color són:

$($

Archiu:Correspon caps block 16 .svg, Archiu:Correspon caps block 17 .svg

$),($

Archiu:Correspon caps block 18 .svg, Archiu:Correspon caps block 19 .svg

$),($

Archiu:Correspon caps block 20 .svg, Archiu:Correspon caps block 21 .svg

$)$

• Image d'un element: donat un element $x$ del conjunt orige, i un atre element $y$ del conjunt image, es diu que $y$ és image de $x$ i es representa:

$f(x)=y$

si l'element $x$ està relacionat en l'element $y$ segons la correspondència $f$. en l'eixemple tenim que:

$f(2)=d$

$f(3)=c$

La correspondència color per la que a cada pinzell se li associa la cara pintada del mateix color és:

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}($ Archiu:Correspon caps block 22 .svg $)=$ Archiu:Correspon caps block 23 .svg

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}($ Archiu:Correspon caps block 24 .svg $)=$ Archiu:Correspon caps block 25 .svg

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}($ Archiu:Correspon caps block 26 .svg $)=$ Archiu:Correspon caps block 27 .svg

Vore també

• Relació matemàtica
• Relació binaria
• Galeria de correspondències matemàtiques
• Successió matemàtica
• Funció matemàtica
• Funció multivaluada