Funció multivaluada

En matemàtiques, una funció multivaluada entre X i I és un subconjunt del producte cartesiano X × I de manera que a un element de X li poden correspondre un o més elements de I , en contradicció en la definició de funció. Prenem la definició del terme correspondència de la versió anglesa d'este artícul.

La funció multivaluada tindrà un domini sobre el que serà total a esquerres i un codominio o ranc o image sobre el que serà total a dretes.

Considere's la relació entre el conjunt A i B com a funcions multivaluadas sobreyectivas:

i en estos casos com a funcions multivaluadas no sobreyectivas:

Una funció multivaluada és un cas més general que el de funció, tota funció és una funció multivaluada, pero tota funció multivaluada no té que ser funció.

El concepte de "funció multivaluada" es pot evitar tenint en conte que una funció multivaluada entre $X$ i $Y$ es pot considerar com una funció entre $X$ i $𝒫(Y)$ ya que els elements de $𝒫(Y)$ són tots els subconjunts de $Y$, encara que esta consideració desvirtúa els conceptes.

Observe's que una funció multivaluada no és una funció, no obstant, una funció sí és una funció multivaluada.

L'orige de la confusió

En l'aparició de la Teoria axiomàtica de conjunts s'introduïx el terme "aplicació matemàtica" entre dos conjunts X i I, exigint que una aplicació siga de "molts a un" o de "un a un", respectivament aplicacions sobreyectivas i inyectivas i biyectivas. Posteriorment es confonen els térmens funció, tradicional en Matemàtiques i aplicació conjuntista. Vore, per eixemple, Bourbaki.

L'idea de funció, per cert funció multivaluada, se sol atribuir a Leibniz en el sentit de variable depenent i independent, no obstant l'idea actual de funció pretén relacionar parells ordenats o n-uplas ordenades de dos o n conjunts de manera que un conjunt no depenga d'un atre. Seria més correcte dir que Leibniz introduïx el concepte de "dependència funcional" i més concretament "dependència funcional analítica" i considerar que el concepte actual de funció o mapage es correspon en l'idea del producte cartesiano com a conjunt de parells ordenats, extensible a n-uplas ordenades d'elements de n conjunts.

Eixemples de funcions multivaluadas

- La raïl quadrada i en general les raïls d'índex parell dels número real tenen dos valors, positiu i negatiu, de manera que la raïl quadrada i les d'índex parell no són funcions, sino que són funcions multivaluadas.^{cita requerida}

- Les funcions multivaluadas trigonométricas inverses, arcoseno, arcocoseno, arcotangente, etc. que a cada valor li fan correspondre infinits valors i no són per tant verdaderes funcions. Este cas s'estén a totes les funcions periòdiques. En qualsevol llibre es pot vore que el títul de la secció o epígraf o capítul se sol denominar «Funcions trigonomètriques inverses» quan realment no són funcions. Bourbaki no menciona cap d'estes funcions multivaluadas en cap dels seus llibres publicats fins a la data.

- En el pla cartesiano totes les rectes són funcions llevat l'eix d'ordenades i totes les rectes de la forma x=a, sent a un número real. En este cas a cada valor de x li corresponen infinits valors de i.

- Les còniques i totes les curves tals que la seua intersecció en una recta de la forma x=a siga de dos o més punts.

- El logaritme d'un número complex, que té infinits valors periòdics.

- La raïl n-ésima d'un número complex que té n valores distints no periòdics.

- l'integral indefinida d'una funció que té tantes primitives com a valors puga prendre la constant d'integració, ya que la derivada d'una constant és zero. Este cas és verdaderament notable ya que negar que açò és una funció equival a negar el teorema fonamental del càlcul en la seua forma original i ademés l'extensió al conjunt de parts desvirtúa dit teorema.

- El conjunt de Lambert.

Vore també

• Correspondència matemàtica
• Funció parcial