Dependència funcional

El concepte de dependència funcional apareix en varis contexts de la matemàtica i la llògica (tenint una important aplicació en bases de senyes relacionals) i es referix a que determinats ents matemàtics poden expressar-se com funcions matemàtiques d'atres ents.

Teorema de dependència funcional

El concepte de dependència funcional és una generalisació del concepte de dependència llineal. Es diu que un conjunt de funcions és funcionalment dependent quan existix una relació funcional entre elles, o alternativament, quan alguna de les funcions del conjunt és expressable com a funció de les atres funcions del conjunt.

Més formalment, si es té un conjunt obert $A\subset {ℝ}^n$ i una colecció de funcions $\{f_1,\dots ,f_m\}$, en $f_i:A\to ℝ$, es diu que dit conjunt és funcionalment depenent si existix una funció $F:{ℝ}^m\to ℝ$ tal que:

1. Per a cada conjunt obert $G\subset {ℝ}^m$ existix $a\in G$, en $F(a)\ne 0$.
2. $F(f_1(x),\dots ,f_n(x))=0$ para tot $x\in A$.

En cas contrari es diu que la família és funcionalment independent. La condició (1) anterior expressa que la funció F no pot ser idénticamente nula en cap obert de ${ℝ}^m$. La relació (2) expressa l'existència d'una relació constant entre les funcions de la colecció.

La teorema de dependència funcional establix que una condició necessària és que si les funcions $\{f_1,\dots ,f_m\}$ són de classe $C^1$ llavors tots els menors d'orde m de la matriu jacobiana $[D_i{f}_j(x)]$ són idénticamente nuls, o equivalentemente que dita matriu té un ranc inferior a m.

Una aplicació important d'esta teorema és que dona condicions baix les quals una funció, que en principi depén de n paràmetros, pot expressar-se com a funció d'un conjunt de variables més menut.

Llògica

Sean $x$ i $y$ atributs (o conjunt d'atributs) d'una relació $R$. Es diu que $y$ depén funcionalmente de $x$ (es denota per $x\to y$) si cada valor de $x$ té associat un sol valor de $y$. En esta relació, a $x$ se li denomina determinant (de $y$). Es diu que l'atribut $y$ és completament depenent de $x$ si depén funcionalment de $x$ i no depén de cap subconjunt propi de $x$.