Constant d'integració

En càlcul, l'integral indefinida d'una funció donada (és dir, el conjunt de totes les primitives de la funció) es denota en una constant, la constant d'integració. Esta constant expressa una ambigüitat inherent a la construcció de primitives. Si una funció f està definida en un interval i F és una primitiva de f, llavors el conjunt de totes les primitives de f ve dau per les funciones F (x) + C, sent C una constant arbitrària.

Orige de la constant

La derivada de qualsevol funció constant és zero. Una volta s'ha trobat una primitiva F, sumant-li o restant-li una constant C s'obté una atra primitiva, perque (F + C) ' = F ' + C ' = F '. La constant és una manera d'expressar la classe de totes les funcions primitives diferents d'una funció donada.

Per eixemple, suponga's que es vol trobar la primitiva de cos(x). Una d'estes primitives és sense(x). Una atra és sense(x)+1. Una tercera és sense(x)-π. Cada una d'estes funcions té per derivada cos(x), per lo tant totes són primitives de cos(x). Resulta que afegir i restar constants és l'únic grau de llibertat que hi ha en trobar primitives diferents de la mateixa funció. És dir, totes les primitives són les mateixes en la diferència d'una constant. Per a expressar este fet per a cos(x), s'escriu:

$\int \cos (x)dx=\sin (x)+C.$

Substituint C per un número qualsevol, s'obté una primitiva. En canvi, escrivint C en lloc d'un número s'obté una descripció compacta de totes les primitives possibles de cos(x). C es denomina constant d'integració. Es pot comprovar fàcilment que totes estes funcions són, en efecte, primitives de cos(x):

$\frac{d}{dx}[\sin (x)+C]$	$=\frac{d}{dx}[\sin (x)]+\frac{d}{dx}(C)$
	$=\cos (x)+0$
	$=\cos (x).$

Necessitat de la constant

A primera vista pot semblar que la constant és innecessària, ya que es pot considerar zero. Ademés, en evaluar integrals definides amprant el teorema fonamental del càlcul, la constant sempre se sumarà i es restarà, sent el seu efecte nul. Pero intentar igualar la constant a zero no sempre té sentit. Per eixemple, 2sense(x)cos(x) es pot integrar de dos maneres diferents:

$\begin{array}{ccccc}\int 2\sin (x)\cos (x)dx& =& {\sin }^2(x)+C& =& -{\cos }^2(x)+1+C\\ \int 2\sin (x)\cos (x)dx& =& -{\cos }^2(x)+C& =& {\sin }^2(x)-1+C\end{array}$

Per lo tant, en considerar C com a nula encara quedaria una constant. Açò significa que, per a una funció donada, no hi ha cap antiderivada "més simple".

Un atre problema en igualar C a zero és que a voltes es vol trobar una primitiva que té un valor donat en un punt donat. Per eixemple, per a obtindre la primitiva de cos(x) que té el valor 100 en x = π només hi ha un valor vàlit de C (en este cas C = 100).

Esta restricció es pot reformular en el llenguage de les equacions diferencials. Trobar una integral indefinida d'una funció f(x) és lo mateix que resoldre l'equació diferencial dy/dx = f(x). Qualsevol equació diferencial té moltes solucions, i cada constant representa la solució única d'un problema de valor inicial definit. Impondre la condició de que la primitiva prenga el valor 100 en x = π és una condició inicial. Cada condició inicial correspon a un únic valor de C, de modo que sense C seria impossible resoldre el problema.

Hi ha una atra justificació, que ve del àlgebra abstracta. L'espai de totes les funcions reals sobre el conjunt dels número real (adequades) és un espai vectorial, i l'operador diferencial $d/dx$ és un operador llineal. L'operador d/dx fa correspondre una funció a zero si i només si la funció és constant. Conseqüentment, el núcleu de d/dx és l'espai de totes les funcions constants. El procés d'integració indefinida equival a trobar una antiimagen d'una funció donada. No hi ha cap antiimagen canònica per a una funció donada, pero el conjunt de totes eixes antiimágenes forma una classe d'equivalència. Elegir una constant és lo mateix que elegir un element de la classe. En este context, resoldre un problema de valor inicial s'interpreta com la pertinença al hiperplano donat per les condicions inicials.