Operador diferencial

Una funció harmònica definida en un anell . Funcions harmòniques són exactament les funcions que es troben en el núcleu del operador de Laplace, un operador diferencial important.

En matemàtiques, un operador diferencial és un operador llineal definit com una funció del operador de diferenciació. Ajuda, com una qüestió de notació, considerar a la diferenciació com una operació abstracta, que accepta una funció i retorna una atra.

Definició

Supongam que hi ha un mapa $A$ d'un espai de funcions $F_1$ a un atre espai de funcions $F_2$ i una funció $f\in F_2$ de manera que $f$ siga l'image de $u\in F_1$, és dir, $f=A(u)$. Un operador diferencial es representa com una combinació llineal, finitamente generada per i els seus derivats que contenen un grau més alt tal com

$P(x,D)=\sum _{|\alpha |\le m}{a}_{\alpha }(x)D^{\alpha },$

a on el conjunt de sancers no negatius $\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)$ es diu un multi-índex, $|\alpha |={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n$ es diu llongitut, $a_{\alpha }(x)$ són funcions d'algun domini obert en l'espai n-dimensional i $D^{\alpha }=D_1^{{\alpha }_1}{D}_2^{{\alpha }_2}\cdots D_n^{{\alpha }_n}$. La derivada anterior és una com a funcions o, a voltes, distribucions o hiperfunciones i $D_j=-i\frac{\partial }{\partial x_j}$ o a voltes, $D_j=\frac{\partial }{\partial x_j}$.

Cas en una variable

L'us més comú de l'operador diferencial és realisar la derivada en sí mateixa. Les notacions comunes d'este operador inclouen:

Les dos primeres s'usen fonamentalment quan es vol fer explícita la variable respecte a la qual es prenen les derivades ordinàries, l'última forma només s'usa quan pel context està clar quin és la variable respecte a la que es deriva (sense necessitat d'explicitar-la). Les primeres derivades es prenen com dalt, pero per a les derivades d'orde superior, les n-ésimas, són útils els següents canvis:

$\frac{d^2}{d{x}^2}u,\frac{d^3}{d{x}^3}u,\mathrm{...}$

$u^{″},u^{‴},\mathrm{...}$

$\ddot{u},\stackrel{\mathrm{...}}{u},\mathrm{...}$

Un atre operador diferencial és l'operador Θ, o operador theta, definit per

$\Theta =z\frac{d}{dz}$

Açò a voltes també es diu el operador d'homogeneïtat, perque les seues funcions pròpies són els monomis en z:

$\Theta (z^k)=k{z}^k,k=0,1,2,\mathrm{...}$

En n variables l'operador d'homogeneïtat està donat per

$\Theta =\sum _{k=1}^n{x}_k\frac{\mathrm{ð}}{\mathrm{ð}{x}_k}$

Com en una variable, els de Θ sò els espais de polinomis homogéneus.

Operadors llineals ordinaris

• L'us i la creació de la notació $D^k$ per a la derivada k-ésima es deu a Oliver Heaviside, qui considerava els operadors diferencials llinealés ordinaris de la forma:

A on:

$a_k(x)$ són funcions definides sobre el domini $\Omega$.

$C^1(\Omega )$ denota a les funcions diferenciables en continuïtat en el domini $\Omega$

$C^0(\Omega )$ denota a les funcions contínues en el mateix domini.

en el seu estudi de les equacions diferencials.

• La derivada simple és, com s'ha dit, un operador diferencial llineal sobre el conjunt de funcions reals de variable real.
• Una equació diferencial ordinària es pot expressar per mig d'un operador llineal en la forma $ℒy=f$, a on $y$ és la funció incògnita.

Vore també

• Derivada
• Operador llineal
• Operador fraccional