Número de Bernoulli

Archiu:JakobBernoulliSummaePotestatum.png

Número de Bernoulli

Archiu:Bernoulli numbers logarithmic growth.png

Image ilustrativa. Creiximent logarítmic.

En matemàtiques, els números de Bernoulli (denotats per $B_{n}$ i, a voltes, per $b_{n}$ en la finalitat de distinguir-los dels números de Bell) constituïxen una successió d'número racional en profundes conexions en teoria de números.

Varen ser cridats aixina per Abraham de Moivre, en honor de Jacob Bernoulli, primer matemàtic que els va estudiar. Els números de Bernoulli també apareixen en l'expansió de les funcions tangente i tangente hiperbòlica per mig de series de Taylor, en la fòrmula de Euler-Maclaurin i en les expressions de certs valors de la funció zeta de Riemann.

Introducció

Històricament, varen sorgir dels treballs d'obtindre una fòrmula de la suma de potències d'número natural, en funció de la cantitat de sumants:

\sum_{m = 1}^{n} m^{p} = 1^{p} + 2^{p} + \dots + n^{p}

Les formes tancades de l'expressió són sempre polinomis en $n$ d'orde $p + 1$ . Es va obtindre una de dites formes per mig de polinomis de Bernoulli i una atra per mig de l'us de números de Bernoulli:

\sum_{m = 1}^{n} m^{p} = \frac{1}{p + 1} \sum_{m = 0}^{p} (\binom{p + 1}{m}) B_{m} \cdot (n + 1)^{p + 1 - m} = p! \sum_{m = 0}^{p} \frac{B_{m} \cdot (n + 1)^{p + 1 - m}}{(p + 1 - m)! m!}

\sum_{m = 0}^{n} m^{p} = \frac{B_{p + 1} (n + 1) - B_{p + 1} (1)}{p + 1}

^[1]

I els polinomis de Bernoulli es poden calcular a partir de la següent fòrmula:

B_{p} (x) = \sum_{m = 0}^{p} (- 1)^{m} (\binom{p}{m}) B_{m} \cdot x^{p - m}

A on els $B_{m}$ són els números de Bernouilli, en $B_{0} = 1$ ; els demés números es calculen per mig de la següent fòrmula recursiva:

B_{m} = - \frac{1}{m + 1} \sum_{k = 0}^{m - 1} (\binom{m + 1}{k}) B_{k} = - m! \sum_{k = 0}^{m - 1} \frac{B_{k}}{(m + 1 - k)! k!}

Per eixemple, si $p = 1$ , tenim que:

\sum_{m = 1}^{n} m = 1 + 2 + \dots + n = \frac{1}{2} \sum_{m = 0}^{1} (\binom{2}{m}) B_{m} \cdot (n + 1)^{2 - m} = \frac{1}{2} [(\binom{2}{0}) B_{0} (n + 1)^{2} + (\binom{2}{1}) B_{1} (n + 1)] = \frac{1 \cdot 1 \cdot (n^{2} + 2 n + 1) + 2 \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot (n + 1)}{2} = \frac{n^{2} + n}{2}

El primer algoritme per a la generació automàtica de números de Bernoulli va ser descrit per primera volta per Ada Lovelace en les seues notes de l'any 1843 sobre la màquina analítica de Charles Babbage.

Definició dels números de Bernoulli

Es poden definir de diverses formes equivalents:

Com els térmens independents dels polinomis de Bernoulli $B_{p} (x)$ corresponents, és dir, $B_{p} = B_{p} (0)$ $B_{p}^{+} = B_{p} (1)$

utilisant les funcions generadores en la variable x:

\frac{x}{e^{x} - 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} B_{n} \frac{x^{n}}{n!} : si | x | < 2 π

variant en

B_{1} = - \frac{1}{2}

\frac{x e^{x}}{e^{x} - 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} B_{n}^{+} \frac{x^{n}}{n!} : si | x | < 2 π

variant idèntica llevat per

B_{1}^{+} = \frac{1}{2}

^[2]

a on cada coeficient B_n de la série de Taylor és el n-ésimo número de Bernoulli.

Vore també

Referències

↑ «On the coefficients of power sums of arithmetic progressions» (en en).
↑ Es deduïx fàcilment de la diferència entre les funcions generadores que és x per ad açò en el desenroll tots els coeficients són 0 llevat el de l'exponent 1 que és $1 = \frac{1}{2} - (- \frac{1}{2})$

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Número de Bernoulli» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] «On the coefficients of power sums of arithmetic progressions» (en en).

[2] Es deduïx fàcilment de la diferència entre les funcions generadores que és x per ad açò en el desenroll tots els coeficients són 0 llevat el de l'exponent 1 que és $1 = \frac{1}{2} - (- \frac{1}{2})$

[1]

[2]