Número de Bell

En combinatòria, el n-ésimo número de Bell, cridat aixina per Eric Temple Bell, és el número de particions d'un conjunt de n elements, o equivalentement, el número de relaciones d'equivalència en el mateix.^[1] Començant en B₀ = B₁ = 1, els primers números de Bell són:

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, … Plantilla:OEIS.

L'enèsima d'estes sifres, B_n, conta la cantitat de formes diferents de dividir un conjunt que té exactament n elements, o equivalentement, el número de relacions d'equivalència. Fòra de les matemàtiques, el mateix número també conta la cantitat de esquemes de rima diferents per a poemes de llínea n.^[2]

Ademés d'aparéixer en problemes de conteo, estos números tenen una interpretació diferent, com moments de distribucions de provabilitat. En particular, B_n és l'enèsim moment d'una distribució de Poisson en mija d'1.

Contant

Particions d'un conjunt

Artícul principal: Partició d'un conjunt

En general, $B_{n}$ és el número de particions d'un conjunt de tamany $n$ . Una partició d'un conjunt $S$ és definida com un conjunt no buit, format per subconjunts separats de $S$ l'unió dels quals és $S$ .

Eixemple

$B_{3} = 5$ perque el conjunt de tres elements ${a, b, c}$ es pot dividir de 5 formes distintes.

{{a}, {b}, {c}}

{{a}, {b, c}}

{{b}, {a, c}}

{{c}, {a, b}}

{{a, b, c}}

B_{0}

és 1 degut a que només hi ha una partició del conjunt buit. L'únic subconjunt del conjunt buit és ell mateix

A \subseteq \emptyset ⟺ A = \emptyset

. Llavors utilisant la notació del conjunt anterior, no tenim en conte ni l'orde de les particions ni l'orde dels elements dins de cada partició, per lo que les següents particions són idèntiques:

{{b}, {a, c}}

{{a, c}, {b}}

{{b}, {c, a}}

{{c, a}, {b}}

Si tinguérem tenim en conte l'orde dels conjunts sent conjunts diferents, llavors el número de particions vindria dau pels números de Bell ordenats.

Factorización

Si $N$ és un número entero sense quadrats (És dir, el número és el producte de $n$ número primo distints), llavors $B_{n}$ nos dona el número de particions diferents multiplicades de $N$ . Estes són les factorización de $N$ en números majors que 1, sent dos factorización iguals si tenen els mateixos factors pero en orde diferent.

Eixemple

$30$ és el producte dels tres cosins 2, 3 i 5, i té $B_{3} = 5$ factorización:

$30 = 2 \times 15 = 3 \times 10 = 5 \times 6 = 2 \times 3 \times 5$

Permutació

Els números de Bell apareixen en un problema de barallat de cartes mencionat en l'apèndix de Gardner (1978). Si es baralla una baralla de n cartes retirant repetidament la carta superior i reinsertandola en qualsevol lloc de la baralla (inclosa la seua posició original en la part superior de la baralla), en exactament n repeticions d'esta operació, llavors hi ha nⁿ diferents barallats que poden ser realisat. D'estos, el número que torna el mall a la seua orde original ordenat és exactament B_n. Per lo tant, la provabilitat de que la baralla estiga en la seua orde original despuix de mesclar-la d'esta manera és B_n/nⁿ, ¡que és significativament més gran que la 1/n! provabilitat que descriuria una permutació uniformemente aleatòria de la baralla.

En relació en la baralla de cartes, existixen atres problemes per a contar tipos especials de permutació que també responen els números de Bell. Per eixemple, l'enèsim número de Bell equival al número de permutació en n elements en els que no hi ha tres valors que estan en orde ordenat tenen els últims dos d'estos tres consecutius. En una notació per a patrons de permutació generalisada a on els valors que deuen ser consecutius s'escriuen adjacents entre sí, i els valors que poden aparéixer de manera no consecutiva estan separats per un guion, estes permutació es poden descriure com les permutació que eviten el patró 1-23. Les permutació que eviten els patrons generalisats 12-3, 32-1, 3-21, 1-32, 3-12, 21-3 i 23-1 també són contades pels números de Bell. Les permutació en les que cada patró 321 (sense restricció en valors consecutius) es poden estendre a un patró 3241 també es conten pels números de Bell. No obstant, els números de Bell creixen massa ràpit per a contar les permutació que eviten un patró que no s'ha generalisat d'esta manera: per mig de la (ara provada) conjectura de Stanley-Wilf, el número de tals permutació és individualment exponencial, i els números de Bell tenen una major taxa de creiximent asintòtic que això.

Esquema de triàngul per a càlculs

Els números de Bell es poden calcular fàcilment creant el cridat triàngul de Bell, també cridat conjunt de Aitken o el triàngul de Peirce despuix de Alexander Aitken i Charles Sanders Peirce.

Comence en el número un. Posa açò en una fila per sí mateixa. $x_{0, 1} = 1$
Comence una nova fila en l'element més a la dreta de la fila anterior com el número més a l'esquerra ( $x_{i, 1} \leftarrow x_{i - 1, r}$ a on r és l'últim element de (i-1) -ª fila)
Determine els números que no estan en la columna esquerra prenent la suma del número a l'esquerra i el número sobre el número a l'esquerra, és dir, el número diagonalment dalt i a l'esquerra del número que estem calculant $(x_{i, j} \leftarrow x_{i, j - 1} + x_{i - 1, j - 1})$
Repetixca el pas tres fins que hi haja una nova fila en un número més que la fila anterior (faça el pas 3 fins a $j = r + 1$ )
El número en el costat esquerre d'una fila donada és el número de Bell per a eixa fila. $B_{i} \leftarrow x_{i, 1}$

Estes són les primeres cinc files del triàngul construït per estes regles:

 1
 1   2
 2   3   5
 5   7  10  15
15  20  27  37  52

Els números de Bell apareixen tant en el costat esquerre com en el dret del triàngul.

Vore també

Números de Stirling de segona espècie - número de formes de particionar un conjunt de n elements en k subconjunts no buits.
Kōdō

Referències

↑ «Bell Number» (en en). mathworld.wolfram.com. Consultat el 2026-06-04.
↑ «Bell Numbers». discrete.openmathbooks.org. Consultat el 2026-06-04.

Gian-Carlo Trencada, 1964, "The Number of Partitions of a Set," American Mathematical Monthly 71(5): 498—504.
Lovász, L. Combinatorial Problems and Exercises, 2.ª ed. Ámsterdam, Països Baixos: North-Holland, 1993.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Número de Bell» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] «Bell Number» (en en). mathworld.wolfram.com. Consultat el 2026-06-04.

[2] «Bell Numbers». discrete.openmathbooks.org. Consultat el 2026-06-04.

[1]

[2]