Distribució de Poisson

Archiu:Poisson pmf.svg

Distribució de Poisson

En teoria de provabilitat i estadística, la distribució de Poisson és una distribució de provabilitat discreta que expressa, a partir d'una freqüència d'ocurrència mija, la provabilitat de que ocórrega un determinat número d'events durant cert periodo de temps. Concretament, s'especialisa en la provabilitat d'ocurrència de successos en provabilitats molt menudes, o successos «rars». També pot utilisar-se per a contar el número d'events o partícules considerades puntuals en atres tipos d'intervals específics, com la distància, l'àrea o el volum.

Va ser proposta per Siméon Denis Poisson, que la va donar a conéixer en 1838 en el seu treball Recherches sur la probabilité dones jugements en matières criminelles et matière civile (Investigació sobre la provabilitat dels juïns en matèries criminals i civils).

Per eixemple, un centre de cridades rep una mija de 180 cridades per hora, 24 hores al dia. Les cridades són independents; rebre una no canvia la provabilitat de que aplegue la següent. El número de cridades rebudes durant qualsevol minut té una distribució de provabilitat de Poisson en mija 3: els números més provables són 2 i 3, pero 1 i 4 també són provables i hi ha una chicoteta provabilitat de que siga tan baix com zero i una provabilitat molt chicoteta de que puga ser 10.

Un atre eixemple és el número de desintegracions que es produïxen en una font radiactiva durant un periodo d'observació determinat.

Història

La distribució va ser introduïda per primera volta per Siméon Denis Poisson (1781-1840) i publicada junt en la seua teoria de la provabilitat en la seua obra Recherches sur la probabilité dones jugements en matière criminelle et en matière civile (1837). El treball teorizaba sobre el número de condenes injustes en un país determinat centrant-se en certes variables aleatòries N que conten, entre atres coses, el número de successos discrets (a voltes cridats "events" o "arribades") que tenen lloc durant un interval de temps-interval de duració determinada. El resultat ya havia segut donat en 1711 per Abraham de Moivre en De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuït Pendentibus . . Açò la convertix en un eixemple de llei de Stigler i ha dut a alguns autors a defendre que la distribució de Poisson deuria dur el nom de Moivre.

En 1860, Simon Newcomb va ajustar la distribució de Poisson al número d'estreles trobades en una unitat d'espai. Una atra aplicació pràctica d'esta distribució va ser realisada per Ladislaus Bortkiewicz en 1898, quan se li va encomanar la tasca d'investigar el número de soldats de l'eixèrcit prusiano morts accidentalment per patades de cavalls; este experiment va introduir la distribució de Poisson en el camp de l' ingenieria de la fiabilitat.

Definició

La distribució de Poisson és popular perque modela el número de voltes que ocorre un event en un interval de temps.

Notació

Siga $\lambda >0$ i $X$ una variable aleatòria discreta, si la variable aleatòria $X$ té una distribució de Poisson en paràmetro $\lambda$ llavors escriurem $X\sim \mathrm{Poisson}(\lambda )$ o $X\sim \mathrm{Poi}(\lambda )$.

Funció de provabilitat

Una variable aleatòria discreta X es diu que té una distribució de Poisson, en paràmetro $\lambda >0,$ si té una funció de provabilitat donada per:

$f(k;\lambda )=\mathrm{P}(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!},$

a on

• k és el número d'ocasions ($k=0,1,2,\dots$)
• i és número de Euler ($e=2,71828\dots$)
• ! és la funció factorial.

Eixemple

Archiu:Chewing gum on a sidewalk in Reykjavík. caps block 0

El número de chicles en un mateix taulell té una distribució de Poisson aproximada

La distribució de Poisson pot ser útil per a modelizar successos com:

• El número de meteorits de més d'1 metro de diàmetro que choquen contra la Terra en un any;
• el número de fotons làser que choquen contra un detector en un interval de temps determinat; i
• el número d'estudiants que obtenen una nota baixa i una nota alta en un examen.

Supòsits i validea

La distribució de Poisson és un model apropiat si es complixen els següents suposts:

• k és el número de voltes que ocorre un succés en un interval i k pot prendre els valors 0, 1, 2, ... .
• L'ocurrència d'un succés no afecta a la provabilitat de que ocórrega un segon succés. És dir, els successos ocorren de forma independent.
• La taxa mija a la que es produïxen els successos és independent de qualsevol succés. Per a simplificar, se sol supondre que és constant, pero en la pràctica pot variar en el temps.
• Dos successos no poden ocórrer exactament en el mateix instant; en canvi, en cada subintervalo molt menut, o be ocorre exactament un succés, o no ocorre cap succés.

Si estes condicions són certes, llavors k és una variable aleatòria de Poisson, i la distribució de k és una distribució de Poisson.

La distribució de Poisson és també el llímit d'una distribució binomial, per a la qual la provabilitat d'èxit de cada ensaig és igual a λ dividida pel número d'ensajos, a mida que el número d'ensajos s'aproxima a infinit (vore Distribucions relacionades).

Funció de provabilitat

Si $X\sim \mathrm{Poisson}(\lambda )$ llavors la funció de provabilitat és

$\mathrm{P}[X=k]=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$

a on $k=0,1,2,\dots$ és el número d'ocurrències de l'event o fenomen.

El paràmetro $\lambda >0$ representa el número de voltes que s'espera que ocórrega dit fenomen durant un interval donat. Per eixemple, si el succés estudiat té lloc en promig 4 voltes per minut i estem interessats en la provabilitat de que ocórrega $k$ voltes dins d'un interval de 10 minuts, usarem un model de distribució de Poisson en λ = 10×4 = 40.

Fòrmula Recursiva

En ocasions, per a calcular les provabilitats, s'utilisa la següent fòrmula recursiva per a calcular $\mathrm{P}[X=k+1]$ en térmens de $\mathrm{P}[X=k]$

$\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{P}[X=k+1]}{\mathrm{P}[X=k]}& =\frac{\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}}\\ & =\frac{{\lambda }^{k+1}k!}{{\lambda }^k(k+1)!}\\ & =\frac{\lambda }{k+1}\end{array}$

per lo tant

$\mathrm{P}[X=k+1]=\frac{\lambda }{k+1}\mathrm{P}[X=k]$

sempre que $\mathrm{P}[X=k]\ne 0$.

Propietats

Si $X\sim \mathrm{Poisson}(\lambda )$ llavors la variable aleatòria $X$ satisfà algunes propietats.

Media

La mija de la variable aleatòria $X$ és

$\mathrm{E}[X]=\lambda$

Esta es demostra per definició d'esperança matemàtica

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}[X]& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k\left(\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}\right)\\ & =e^{-\lambda }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k{\lambda }^k}{k!}\\ & =e^{-\lambda }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^k}{(k-1)!}\\ & =\lambda e^{-\lambda }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^{k-1}}{(k-1)!}\\ & =\lambda e^{-\lambda }\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^j}{j!}\\ & =\lambda e^{-\lambda }{e}^{\lambda }\\ & =\lambda \end{array}$

Varianza

La varianza de la variable aleatòria $X$ és

$\mathrm{Var}(X)=\lambda$

És dir, tant el valor esperat com la varianza d'una variable aleatòria en distribució de Poisson són iguals a $\lambda$.

Moments

Els moments d'orde superior són polinomis de Touchard en $\lambda$ els coeficients dels quals tenen una interpretació combinatòria. De fet, quan el valor esperat de la distribució de Poisson és 1, llavors segons la fòrmula de Dobinski, el $n$-ésimo moment iguala al número de particions de tamany $n$.

Moda

La moda de la variable aleatòria $X$ és

$\lfloor \lambda \rfloor$

açò és, el major dels sancers menors que $\lambda$ (els símbols $\lfloor \rfloor$ representen la funció partix sancera).

Funció generadora de moments

La funció generadora de moments de la distribució de Poisson està donada per

$M_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{tX}\right]=\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{tx}\mathrm{P}[X=x]=\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{tx}\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^x}{x!}=e^{-\lambda }\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\lambda e^t{)}^x}{x!}=e^{-\lambda }{e}^{\lambda e^t}=e^{\lambda (e^t-1)}.$

Les variables aleatòries de Poisson tenen la propietat de ser infinitament divisibles.

La divergència Kullback-Leibler des d'una variable aleatòria de Poisson de paràmetro ${\lambda }_0$ a una atra de paràmetro $\lambda$ és

$D_{\mathrm{K}\mathrm{L}}(\lambda ||{\lambda }_0)=\lambda (1-\frac{{\lambda }_0}{\lambda }+\frac{{\lambda }_0}{\lambda }\log \frac{{\lambda }_0}{\lambda }).$

Interval de confiança

Un criteri fàcil i ràpit per a calcular un interval de confiança aproximada de $\lambda$ és propost per Guerriero (2012). Donada una série d'events k (a lo manco el 15-20) en un periodo de temps T, els llímits de l'interval de confiança per a la freqüència vénen donades per:

$F_{low}=(1-\frac{1.96}{\sqrt{k-1}})\frac{k}{T}$

$F_{upp}=(1+\frac{1.96}{\sqrt{k-1}})\frac{k}{T}$

llavors els llímits del paràmetro $\lambda$ estan donades per:${\lambda }_{low}=F_{low}T;{\lambda }_{upp}=F_{upp}T$.

Relació en atres distribucions

Sumes de variables aleatòries de Poisson

La suma de variables aleatòries de Poisson independents és una atra variable aleatòria de Poisson el paràmetro de la qual és la suma dels paràmetros de les originals. Dit d'una atra manera, si

$X_i\sim \mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}({\lambda }_i),i=1,\dots ,N$

són N variables aleatòries de Poisson independents, llavors

$Y=\sum _{i=1}^N{X}_i\sim \mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}\left(\sum _{i=1}^N{\lambda }_i\right)$.

Distribució binomial

La distribució de Poisson és el cas llímit de la distribució binomial. De fet, si els paràmetros n i $\theta$ d'una distribució binomial tendixen a infinit (en el cas de n) i a zero (en el cas de $\theta$) de manera que $\lambda =n\theta$ es mantinga constant, la distribució llímit obtinguda és de Poisson.

Aproximació normal

Com a conseqüència del teorema central del llímit, per a valors grans de $\lambda$, una variable aleatòria de Poisson X pot aproximar-se per una atra normal ya que el cocient

$Y=\frac{X-\lambda }{\sqrt{\lambda }}$

convergix a una distribució normal de mija 0 i varianza 1.

Distribució exponencial

Suponga's que per a cada valor t > 0, que representa el temps, el número de successos de cert fenomen aleatori seguix una distribució de Poisson de paràmetro λt. Llavors, els temps transcorreguts entre dos successos successius seguix la distribució exponencial.

Eixemple

Si el $2\mathrm{\%}$ dels llibres encuadernados en cert taller tenen encuadernación defectuosa, per a obtindre la provabilitat de que $5$ de $400$ llibres encuadernados en este taller tinguen encuadernaciones defectuoses usem la distribució de Poisson, si es definix $X$ com el número de llibres que tinguen encuadernación defectuosa llavors $k=5$ i $\lambda$ (el valor esperat de llibres defectuosos) és el $2\mathrm{\%}$ de $400$, és dir, $8$. Per lo tant, la provabilitat buscada és:

$\mathrm{P}[X=5]=\frac{8^5{e}^{-8}}{5!}=0.092$

Processos de Poisson

Artícul principal → Procés de Poisson.

La distribució de Poisson s'aplica a varis fenomens discrets de la naturalea (açò és, aquells fenomens que ocorren 0, 1, 2, 3, etc. voltes durant un periodo definit de temps o en un àrea determinada i en un número definit de graus de llibertat) quan la provabilitat d'ocurrència del fenomen és constant en el temps o l'espai. Eixemples d'estos events que poden ser modelats per la distribució de Poisson inclouen:

• El número d'autos que passen a través d'un cert punt en una ruta (suficientment distants dels semàfors) durant un periodo definit de temps.
• El número d'errors d'ortografia que un comet en escriure una única pàgina.
• El número de cridades telefòniques en una central telefònica per minut.
• El número de servidors web accedits per minut.
• El número d'animals morts trobats per unitat de llongitut de ruta.
• El número de mutacions de determinada cadena d'ADN despuix de certa cantitat de radiació.
• El número de núcleus atòmics inestables que s'han desintegrat en un determinat periodo.
• El número d'estreles en un determinat volum d'espai.
• La distribució de receptors visuals en la retina de l'ull humà.

• L'inventiva d'un inventor a lo llarc de la seua carrera.

Enllaços externs

• Distribució de Poisson Puntual
• Distribució de Poisson Acumulada
• Calculadora Distribució de Poisson
• Càlcul de la provabilitat d'una distribució de Poisson usant R

Vore també

• Procés de Poisson
• Regressió de Poisson