Distribució binomial

En teoria de la provabilitat i estadística, la distribució binomial o distribució binómica és una distribució de provabilitat discreta que conta el número d'èxits en una seqüència de $n$ ensajos de Bernoulli independents entre sí en una provabilitat fixa $p$ d'ocurrència d'èxit entre els ensajos. Un experiment de Bernoulli es caracterisa per ser dicotòmic, açò és, solament dos resultats són possibles; a un d'estos se li denomina “èxit” i té una provabilitat d'ocurrència $p$ , i a l'un atre se li denomina “fracàs” i té una provabilitat^[1] $q = 1 - p$ .

La distribució binomial s'utilisa en freqüència per a modelizar el número d'encerts en una mostra de tamany n extreta en tongada d'una població de tamany N. Si el mostreig es realisa sense tongada, les extracció no són independents, per lo que la distribució resultant és una distribució hipergeométrica, no una distribució binomial. No obstant, per a N molt majors que n, la distribució binomial seguix sent una bona aproximació, i s'utilisa àmpliament.

Més matemàticament, la distribució binomial és una distribució discreta de provabilitat descrita per dos paràmetros: $n$ , el número d'experiments realisats; i $p$ , la provabilitat d'èxit. Per a cada experiment cridat ensaig Bernoulli, utilisem una variable aleatòria que pren el valor $1$ quan es conseguix un èxit i el valor $0$ en cas contrari. La variable aleatòria, suma de totes estes variables aleatòries, conta el número d'èxits i seguix una distribució binomial. És possible llavors obtindre la provabilitat de $k$ èxits en una repetició de $n$ experiments:

ℙ (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} .

En esta fòrmula intervé el coeficient binomial $(\binom{n}{k})$ del que es deriva el nom de la llei.

L'importància d'esta llei és en primer lloc històrica ya que va ser objecte d'estudi del Teorema de De Moivre-Laplace, resultat del Plantilla:S- fundador dels teoremes de convergència. Una distribució binomial també es pot utilisar per a modelar situacions simples d'encertar o fallar: un joc dellançar una moneda, per eixemple. El càlcul del seu funció de provabilitat es torna ràpidament tediós quan $n$ és gran; és possible llavors utilisar aproximacions per atres lleis de provabilitat com la distribució de Poisson o la distribució normal i utilisar taules de valors.

La llei binomial s'utilisa en diversos camps d'estudi, especialment per mig de proves estadístiques que permeten interpretar senyes i prendre decisions en situacions que depenen de l'encert. Per la seua senzilla definició, és una de les lleis de provabilitat que s'estudien en els cursos introductoris de teoria de la provabilitat.

Explicació intuïtiva

Primers eixemples

Cara o creu

Considerem n llançaments successius d'una moneda. Llavors el número de voltes que la moneda apareix en el costat de la creu seguix la distribució binomial a on el número d'experiments realisats és n i la provabilitat d'èxit és $p = \frac{1}{2}$

Llançar un dau

Considerem n llançaments successius d'un dau de 6 cares. Llavors el número de voltes que ix un 1 seguix la distribució binomial a on el número d'experiments realisats és n i la provabilitat d'èxit és $p = \frac{1}{6}$ .

Definició intuïtiva

Unallei de Bernoulli descriu el comportament d'un experiment aleatori que té dos possibles resultats tradicionalment cridats èxit i fracàs.^[2] Un experiment d'este tipo es denomina ensaig de Bernoulli. Per eixemple, en un llançament de cara o creu, cara pot considerar-se un èxit i creu un fracàs. En este model, la provabilitat d'èxit és un valor fix; és dir, permaneix constant en cada renovació de l'experiment aleatori. Esta provabilitat d'èxit es denomina "p".

Considerem la situació en la que un experiment aleatori d'este tipo (dos resultats possibles i una provabilitat fixa) es repetix un cert número de voltes de forma independent; denotem $n$ este número de voltes. Esta repetició independent d'ensajos de Bernoulli es denomina Esquema de Bernoulli o simplement Ensajos de Bernoulli.^[3] Una distribució binomial descriu el número de voltes que apareix el èxit en els $n$ experiments realisats. Ya que el número d'èxits obtinguts és un valor aleatori, una distribució binomial es descriu donant les provabilitats de que l'èxit es produïxca precisament $k$ voltes en els $n$ ensajos.

Arbre de provabilitats

Una forma visual de representar una seqüència d'experiments és utilisar un arbre de provabilitat. Cada succés està representat per dos branques: una per a l'èxit i una atra per al fracàs. En cada extrem s'afigen dos branques (èxit i fracàs) per al següent ensaig. Açò es repetix fins que s'alcança el número total de successos. En cada extrem final es pot contar el número d'èxits. Es multiplica el número de voltes que $k$ té èxit per la provabilitat de que $k$ tinga èxit per a obtindre la provabilitat corresponent de la distribució binomial.

Definició

Notació

Si una variable aleatòria discreta $X$ té una distribució binomial en paràmetros $n \in ℕ$ i $p$ en $0 < p < 1$ , llavors escriurem $X \sim Bin (n, p)$ .

Funció de Provabilitat

Si $X \sim Bin (n, p)$ , llavors la seua funció de provabilitat està donada per

P [X = x] = (\binom{n}{x}) p^{x} (1 - p)^{n - x}

per a $x = 0, 1, 2, \dots, n$ , sent

(\binom{n}{x}) = \frac{n!}{x! (n - x)!}

el coeficient binomial, i es llig “les combinacions de $n$ en $x$ “.

En ocasions, per a calcular les provabilitats binomiales s'utilisa la següent fòrmula recursiva per a calcular $P [X = x + 1]$ en térmens de $P [X = x]$

\begin{matrix} P [X = x + 1] & = (\binom{n}{x + 1}) p^{x + 1} (1 - p)^{n - (x + 1)} \\ = \frac{n!}{(n - x - 1)! (x + 1)!} p^{x + 1} (1 - p)^{n - x - 1} \\ = \frac{n! (n - x)}{(n - x)! x! (x + 1)} p^{x} (1 - p)^{n - x} \frac{p}{1 - p} \\ = (\frac{n - x}{x + 1}) (\frac{p}{1 - p}) \frac{n!}{x! (n - x)!} p^{x} (1 - p)^{n - x} \\ = (\frac{n - x}{x + 1}) (\frac{p}{1 - p}) (\binom{n}{x}) p^{x} (1 - p)^{n - x} \\ = (\frac{n - x}{x + 1}) (\frac{p}{1 - p}) P [X = x] \end{matrix}

Funció de Distribució Acumulada

La funció de distribució acumulada d'una variable aleatòria $X \sim Bin (n, p)$ està donada per

F_{X} (x) = P [X \leq x] = \sum_{k = 0}^{⌊ x ⌋} (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}

si

0 \leq x \leq n

També pot ser expressada en térmens de la funció beta incompleta com

\begin{matrix} F_{X} (x) & = P [X \leq x] \\ = I_{1 - p} (n - x, x + 1) \\ = (n - x) (\binom{n}{x}) \int_{0}^{1 - p} t^{n - x - 1} (1 - t)^{x} d t \end{matrix}

que és equivalent a la funció de distribució acumulada de la distribució F.

La distribució binomial és la base del test binomial de significació estadística.

Experiment binomial

Existixen moltes situacions en les que es presenta una experiència binomial. Cada u dels experiments és independent dels restants (la provabilitat del resultat d'un experiment no depén del resultat del restant). El resultat de cada experiment ha d'admetre només dos categories (a les que es denomina èxit i fracàs). El valor d'abdós possibilitats ha de ser constant en tots els experiments, i es denoten com $p$ i $q$ respectivament, o com $p$ i $1 - p$ de forma alternativa.

Es designa per $X$ a la variable que medix el número d'èxits que s'han produït en els $n$ experiments.

Quan es donen estes circumstàncies, es diu que la variable $X$ seguix una distribució de provabilitat binomial.

Eixemple

Supongam que es llança 51 voltes un dau de 6 cares i volem calcular la provabilitat de que el número 3 ixca 20 voltes.

En este problema un ensaig consistix en llançar el dau una volta. Considerem un èxit si obtenim un 3 pero si no ix 3 ho considerem com un fracàs. Definixca's $X$ com el número de voltes que s'obté un 3 en 51 llançaments.

En este cas tenim $X \sim Bin (51, 1 / 6)$ , per lo que la provabilitat buscada és $P [X = 20]$

P [X = 20] = (\binom{51}{20}) (1 / 6)^{20} (1 - 1 / 6)^{51 - 20} = 0.0000744

Propietats

Si $X$ és una variable aleatòria discreta tal que $X \sim Bin (n, p)$ , llavors

$E [X] = n p$
$Var [X] = n p (1 - p)$

La primera d'elles és fàcil de demostrar, per definició d'Esperança

E [X] = \sum_{x = 0}^{n} x (\binom{n}{x}) p^{x} (1 - p)^{n - x}

el primer terme de la suma, és dir, per a $x = 0$ el terme val zero, per lo que podem iniciar la suma en $x = 1$

E [X] = \sum_{x = 1}^{n} x (\binom{n}{x}) p^{x} (1 - p)^{n - x}

Ya que

\begin{matrix} (\binom{n}{x}) & = \frac{n!}{x! (n - x)!} \\ = \frac{n}{x} \frac{(n - 1)!}{(x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!} \\ = \frac{n}{x} (\binom{n - 1}{x - 1}) \end{matrix}

per a $x \geq 1$ .

Reemplaçant lo anterior en l'expressió de $E [X]$ obtenim

\begin{matrix} E [X] & = \sum_{x = 1}^{n} x \frac{n}{x} (\binom{n - 1}{x - 1}) p^{x} (1 - p)^{n - x} \\ = n \sum_{x = 1}^{n} (\binom{n - 1}{x - 1}) p^{x} (1 - p)^{n - x} \end{matrix}

Fent el canvi d'índex $k = x - 1$ obtenim

\begin{matrix} E [X] & = n \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n - 1}{k}) p^{k + 1} (1 - p)^{n - (k + 1)} \\ = n p \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n - 1}{k}) p^{k} (1 - p)^{(n - 1) - k} \end{matrix}

Finalment per la fòrmula de Newton (Teorema del binomi)

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k}

Obtenim

E [X] = n p (p + 1 - p)^{n - 1} = n p

.

Distribucions Relacionades

Suma de Binomiales

Si $X \sim Bin (n, p)$ i $Y \sim Bin (m, p)$ són variables aleatòries independents en la mateixa provabilitat $p$ , llavors la variable aleatòria $Z = X + Y$ també és una variable aleatòria en distribució binomial en paràmetros $n + m$ i $p$ , és dir $Z = X + Y \sim Bin (n + m, p)$

\begin{matrix} P [Z = z] & = \sum_{k = 0}^{z} (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} (\binom{m}{z - k}) p^{z - k} (1 - p)^{m - z + k} \\ = (\binom{n + m}{z}) p^{z} (1 - p)^{n + m - z} \end{matrix}

Distribució Bernoulli

Si $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ són $n$ variables aleatòries independents i idénticamente distribuïdes tals que $X_{i} \sim Bernoulli (p)$ , llavors

\sum_{i = 1}^{n} X_{i} \sim Bin (n, p)

Lo anterior és equivalent a dir que la distribució Bernoulli és un cas particular de la distribució Binomial quan $n = 1$ , és dir, si $X \sim Bin (1, p)$ llavors $X \sim Bernoulli (p)$ .

Distribucions limitantes

Teorema llímit de Poisson

Si $n \to \infty$ i $p$ és tal que el producte entre abdós paràmetros tendix a $λ$ , llavors la distribució de la variable aleatòria binomial tendix a una distribució de Poisson de paràmetro $λ$ .

Teorema de De Moivre-Laplace

Si $X$ és una variable aleatòria en mija $n p$ i varianza $n p (1 - p)$ , llavors

Z = \frac{X - n p}{\sqrt{n p (1 - p)}} \sim N (0, 1)

conforme $n \to \infty$ , esta aproximació és bona si $n p \geq 5$ i $n (1 - p) \geq 5$ .

Propietats reproductives

Si $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{k}$ són variables aleatòries independents tals que $X_{i} \sim Bin (n_{i}, p)$ en $i = 1, 2, \dots, k$ llavors

\sum_{i = 1}^{k} X_{i} \sim Bin (\sum_{i = 1}^{k} n_{i}, p)

Inferència estadística

Estimació de paràmetros

Quan es coneix n, el paràmetro p pot estimar-se utilisant la proporció d'encerts:

\hat{p} = \frac{x}{n} .

Este estimador es troba utilisant estimador de màxim verosimilitut i també el método dels moments. Este estimador és insesgado i uniforme en mínima varianza, demostrat per mig del Teorema de Lehmann–Scheffé, ya que es basa en un estadístic mínim suficient i complet (és dir: x). També és consistent tant en provabilitat com en MSE.

També existix un estimador de Bayes de forma tancada per a p quan s'utilisa la distribució Beta com conjugada de la provabilitat ''a priori''. Quan s'utilisa un $Beta (α, β)$ a priori, l'estimador mig posterior és:

{\hat{p}}_{b} = \frac{x + α}{n + α + β} .

L'estimador de Bayes és asintóticamente eficient i a mida que el tamany de la mostra s'aproxima a infinit (n → ∞), s'aproxima a la solució de màxim verosimilitut. L'estimador de Bayes és biaixat, quànt depén dels priores, admissible i consistent en provabilitat.

Per al cas especial d'utilisar la distribució uniforme estàndar com a priori no informatiu, $Beta (α = 1, β = 1) = U (0, 1)$ , l'estimador de la mija a posteriori es convertix en:

{\hat{p}}_{b} = \frac{x + 1}{n + 2} .

Este método es denomina regla de successió, que va ser introduït en el XVIII per Pierre-Simon Laplace.

Quan s'estima p en successos molt rars i un n chicotet (per eixemple: si x=0), llavors utilisar l'estimador estàndar conduïx a $\hat{p} = 0,$ lo que a voltes és poc realiste i poc desijable. En estos casos existixen varis estimadors alternatius.^[4] Una forma és utilisar l'estimador de Bayes, lo que du a:

{\hat{p}}_{b} = \frac{1}{n + 2} .

Un atre método consistix en utilisar el llímit superior del interval de confiança obtingut per mig de la regla de tres:

{\hat{p}}_{rule of 3} = \frac{3}{n} .

Intervals de confiança

Inclús per a valors prou grans de n, la distribució real de la mija és significativament no normal.^[5] Per este problema s'han propost varis métodos per a estimar intervals de confiança.

En les equacions per a intervals de confiança que es presenten a continuació, les variables tenen el següent significat:

n ₁ és el número d'encerts de n, el número total d'ensajos.
$\hat{p} = \frac{n_{1}}{n}$ és la proporció d'encerts
$z = 1 - \frac{1}{2} α$ és el cuantil d'una distribució normal estàndart (és dir, probit) corresponent a la taxa d'error objectiu $α$ . Per eixemple, per a un nivell de confiança del 95% l'error $α$ = 0,05, per lo que $1 - \frac{1}{2} α$ = 0,975 i $z$ = 1,96.

Vore també

Referències

↑ Internet Archive, George P. (George Proctor) (1960). Introduction to probability and random variables, New York : McGraw-Hill. Consultat el 2026-02-06.
↑ Gossett, 2009, p. 310.
↑ Dodge, 2007, p. 175.
↑ Razzaghi, Mehdi(2002).«Sobre l'estimació de la provabilitat d'èxit binomial en ocurrència zero en la mostra».Journal of Modern Applied Statistical Methods.1(2): 326-332.doi:10.22237/jmasm/1036110000.
↑ Brown, Lawrence D.; Cai, T. Tony; DasGupta, Anirban(2001).«Estimació d'intervals per a una proporció binomial».Statistical Science.16(2): 101-133.doi:10.1214/ss/1009213286.Consultat el 2015-01-05.

Bibliografia

Hirsch, Werner Z. (1957). «Binomial Distribution—Success or Failure, How Likely Llaure They?», Introduction to Modern Statistics, New York: MacMillan, pp. 140–153.
Neter, John; Wasserman, William; Whitmore, G. A. (1988). Applied Statistics, Third edició, Boston: Allyn & Bacon, pp. 185–192. ISBN 0-205-10328-6.
Patrick Bogaert (2005). Probabilités pour scientifiques et ingénieurs, De Boeck Supérieur, pp. 402. ISBN 2-8041-4794-0.

Enllaços externs

Commons

Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Distribució binomial.
de la distribució binomial, fins a n=20, en format PDF.
Calculadora Distribució binomial
Càlcul de la provabilitat d'una distribució binomial en R (llenguage de programació)

estadística de la distribució binomial en números aleatoris usant Python (llenguage de programació)
Interactive graphic: Univariate Distribution Relationships
Binomial distribution formula calculator
Difference of two binomial variables: X-Y or |X-Y|
Querying the binomial probability distribution in WolframAlpha

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Distribución binomial» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Internet Archive, George P. (George Proctor) (1960). Introduction to probability and random variables, New York : McGraw-Hill. Consultat el 2026-02-06.

[gossett310-2] Gossett, 2009, p. 310.

[dodge175-3] Dodge, 2007, p. 175.

[4] Razzaghi, Mehdi(2002).«Sobre l'estimació de la provabilitat d'èxit binomial en ocurrència zero en la mostra».Journal of Modern Applied Statistical Methods.1(2): 326-332.doi:10.22237/jmasm/1036110000.

[Brown2001-5] Brown, Lawrence D.; Cai, T. Tony; DasGupta, Anirban(2001).«Estimació d'intervals per a una proporció binomial».Statistical Science.16(2): 101-133.doi:10.1214/ss/1009213286.Consultat el 2015-01-05.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]