Distribució Bernoulli

En teoria de provabilitat i estadística, la distribució Bernoulli (o distribució dicotòmica), nomenada aixina pel matemàtic suís Jacob Bernoulli és una distribució de provabilitat discreta, a on el valor $1$ (èxit) ocorre en la provabilitat $p$ i el valor $0$ (fracàs) en la provabilitat $q=1-p$.

Un experiment al com s'aplica la distribució de Bernoulli es coneix com Ensaig de Bernoulli o simplement ensaig i la série d'eixos experiments com a experiment Bernoulli.

Definició

Si $X$ és una variable aleatòria discreta que medix el "número d'èxits" i es realisa un únic experiment en dos possibles resultats denominats èxit i fracàs, es diu que la variable aleatòria $X$ es distribuïx com una Bernoulli de paràmetro $p$ en $0<p<1$ i escrivim$X\sim \mathrm{Bernoulli}(p)$.

Funció de Provabilitat

La seua funció de provabilitat és

$\mathrm{P}[X=x]=p^x(1-p{)}^{1-x}x=0,1$

lo anterior és equivalent a escriure

$\mathrm{P}[X=x]=\{\begin{array}{cc}1-p& \text{si }x=0\\ p& \text{si }x=1\end{array}$

en ocasions també sol escriure's com

$\mathrm{P}[X=x]=px+(1-p)(1-x)x=0,1$

Funció de Distribució

La funció de distribució acumulada d'una variable aleatòria $X\sim \mathrm{Bernoulli}(p)$ està donada per

$F(x)=\{\begin{array}{cc}0& x<0\\ 1-p& 0\le x<1\\ 1& x\ge 1\end{array}$

Propietats

Si $X$ és una variable aleatòria tal que $X\sim \mathrm{Bernoulli}(p)$ llavors la variable aleatòria $X$ complix algunes propietats.

Mija

La seua mija està donada per

$\mathrm{E}\left[X\right]=p$

Esta es demostra fàcilment utilisant la definició d'esperança

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}[X]& =0\cdot \mathrm{P}[X=0]+1\cdot \mathrm{P}[X=1]\\ & =p\end{array}$

en lo anterior és fàcil obtindre una expressió per a $\mathrm{E}[X^2]$ puix

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}[X^2]& =\sum _{x=0}^1{x}^2{p}^x(1-p{)}^{1-x}\\ & =p(1-p{)}^{1-1}\\ & =p\end{array}$

Varianza

Tenint $\mathrm{E}[X^2]$ i $\mathrm{E}[X]$ pot deduir-se que la varianza de $X$ està donada per

$\begin{array}{cc}\mathrm{Var}\left[X\right]& =\mathrm{E}[X^2]-\mathrm{E}[X{]}^2\\ & =p-p^2\\ & =p(1-p)\end{array}$

Atres propietats

El $n$-ésimo moment de la variable aleatòria $X$ és

$\mathrm{E}\left[X^n\right]=p$

El seu funció generadora de moments està donada per

$M_X(t)=1-p+p{e}^t$

El seu funció generadora de provabilitat està donada per

$G_X(t)=1-p+pt$

La funció característica està donada per

${\phi }_X(t)=1-p+p{e}^{it}$

Moda

$M=\{\begin{array}{cc}0& p<1/2\\ 0,1& p=1/2\\ 1& p>1/2\end{array}$

Asimetria (Biaix)

${\gamma }_1=\frac{q-p}{\sqrt{qp}}$

Curtosis

${\gamma }_2=\frac{6p^2-6p+1}{p(1-p)}$

La Curtosis tendix a infinit per a valors de $p$ propencs a 0 o a 1, pero per a $p=\frac{1}{2}$ la distribució de Bernoulli té un valor de curtosis menor que el de qualsevol atra distribució, igual a -2.

Com a cas particular de la distribució binomial

La distribució Bernoulli és un cas especial de la distribució binomial en $n=1$, açò és $\mathrm{Bernoulli}(p)\equiv \mathrm{Bin}(1,p)$.

Vore també

• Distribució de provabilitat
• Distribució binomial
• Distribució geomètrica la distribució de provabilitat del número d'ensajos de Bernoulli necessaris per a obtindre un èxit.