Esperança matemàtica

L'esperança matemàtica (o senzillament esperança) o mijana d'una variable aleatòria és, en teoria de la probabilitat, la mijana dels valors que pot prendre la variable ponderats per la probabilitat d'estos valors. Representa el valor mijà que un "espera" de la variable despuix d'un nombre elevat de repeticions de l'experiment aleatori. Val a dir que el valor que pren l'esperança matemàtica en alguns casos pot no ser "esperat" en el sentit més general de la paraula - el valor de l'esperança pot no ser un dels valors possibles de la variable; per eixemple, el valor esperat quan llencem un dau equilibrat de 6 cares és 3,5 pero 3,5 no és un valor possible al rodar el dau. Una aplicació comú de l'esperança matemàtica és en les apostes o els jocs d'atzar.

Història

Al XVII Blaise Pascal va estudiar un famós problema entre dos jugadors a petició d'Antoine Gombaud. El problema era que els dos jugadors que volien acabar un joc en el que participaven i volien dividir els diners que han apostat fins aquell moment de forma justa, basant-se en la probabilitat que cadascú té de guanyar el joc des d'aquell moment. Com han de trobar esta "quantitat justa"? el 1654 va mantenir correspondència en Pierre de Fermat sobre el tema dels jocs d'atzar, i és en el debat sobre este problema que es van bastir els fonaments de la teoria matemàtica de les probabilitats i la noció de valor esperat. L'ús de la lletra "E" per indicar el valor esperat es remunta a William Allen Whitworth (1901) "Choice and chance". El símbol s'ha tornat popular, ya que per als escriptors anglesos significa "Expectation", per als alemanys "Erwartungswert", i per als francesos "espérance".

Eixemple introductori

Figura 1. Ruleta en dos resultats possibles

Suposem que juguem en una ruleta que només pot donar dos resultats: blanc en probabilitat 3/5 i vert en probabilitat 2/5, i apostem que quan surti blanc guanyarem 10 euros i quan surti vert en perdrem 2. Vegeu la Figura 1. Considerem una variable aleatòria $X$ que descriu esta situació:

$P(X=10)=\frac{3}{5}\text{i}P(X=-2)=\frac{2}{5}.$

Així, la variable aleatòria $X$ només pren els valors 10 i -2, pero en probabilitat més alta 10 que -2; i si volem resumir la variable en un únic nombre, haurem de tindre-ho en conte, ya que no és raonable dir que la mijana dels valors que pren la variable és (10-2)/2=4. D'acort en la interpretació freqüentista de les probabilitats, si participem $n$  vegades en este joc ($n$ gran), aproximadament $\frac{3}{5}\times n$ vegades guanyarem 10 euros i $\frac{2}{5}\times n$ vegades perdrem 2 euros. La mijana dels guanys entre totes les jugades serà, aproximadament,

$\frac{10\cdot \frac{3}{5}n-2\cdot \frac{2}{5}n}{n}=10\cdot \frac{3}{5}-2\cdot \frac{2}{5}=\mathrm{5,2}\text{ euros}.$

Nomenarem esperança o mijana de $X$ a

$E(X)=10\cdot \frac{3}{5}-2\cdot \frac{2}{5}=\mathrm{5,2}$

Càlcul de l'esperança de variable aleatòries

Variables aleatòries discretes que prenen un nombre finit de valors

Sigui $X$ una variable aleatòria discreta que pren els valors $x_1,\dots ,x_n$ en probabilitats $p_1,\dots ,p_n$respectivament. L'esperança de $X$ es calcula per

$$E(X)=x_1{p}_1+\cdots +x_n{p}_n=\sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i.(1)$$Eixemples.

1. Si tenim un dau ordinari en probabilitats$$P(X=1)=\cdots =P(X=6)=\frac{1}{6},$$llavors,$$E(X)=1\cdot \frac{1}{6}+\cdots +6\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{6}\sum _{i=1}^{6}i=3,5.$$
2. Mes generalment, si tenim una variable aleatòria uniforme sobre els punts $1,2,\dots ,n$, tots en probabilitat $1/n$, llavors, $$E(X)=\sum _{i=1}^{n}i\frac{1}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}i=\frac{1}{n}\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2},$$on hem utilisat la fórmula de la suma d'una progressió aritmètica.
3. Si $X$és una variable aleatòria en distribució binomial de paràmetres $n$ i $p$, és a dir, que pot prendre els valors 0,1,...,n, en probabilitats: $$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,\dots ,n,$$llavors $$E(X)=\sum _{k=0}^{n}k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}=np\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})p^{k-1}(1-p{)}^{n-k}=np\sum _{j=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{j})p^j(1-p{)}^{n-1-j}=np,$$on al darrer sumatori hem fet el canvi $j=k-1$, i despuix hem utilisat que $$\sum _{j=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{j})p^j(1-p{)}^{n-1-j}=\sum _{j=0}^{n-1}P(Y=j)=1,$$on $Y$és una variable binomial de paràmetres $n-1$ i $p$.
   

Variables aleatòries discretes que prenen un nombre infinit numerable de valors

Considerem ara una variable aleatòria $X$ que pot prendre un nombre infinit numerable de valors $x_1,x_2,\dots ,$ en probabilitats $p_1,p_2,\dots ,$ respectivament. Llavors la suma que apareix a (1) esdevé una sèrie infinita i cal anar en cura. Concretament, l'esperança de $X$ és $$E(X)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i{p}_i,$$sempre que la sèrie anterior convergeixi absolutament, és a dir, $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i|p_i<\mathrm{\infty }.$ Si $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i|p_i=\mathrm{\infty }$ es diu que $X$ no té esperança (o que no té esperança finita) o que l'esperança de $X$ no existix.

Eixemples.

1. Sigui $X$ una variable aleatòria discreta en la següent funció de probabilitat: $$P(X=(-1{)}^{k}k)=\frac{1}{e}\frac{1}{k!},k\ge 0.$$

Es tracta d'una distribució de Poisson de paràmetre 1 pero que els valors de la variable alternen el signe. Comencem mirant si l'esperança de $X$ existix:$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|(-1{)}^{k}k|\frac{1}{e}\frac{1}{k!}=\frac{1}{e}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(k-1)!}=\frac{1}{e}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}=1,$$on hem utilisat el desenroll en serie de la funció exponencial: per a qualsívol $x\in ℝ,$$e^x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}.$ Llavors podem calcular l'esperança de $X$:$$E(X)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k}k\frac{1}{e}\frac{1}{k!}=\frac{1}{e}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(k-1)!}=-\frac{1}{e}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k!}=-\frac{1}{e^2}\approx -0,135$$

2. Considerem ara una variable aleatòria discreta en probabilitats $$P(X=(-1{)}^{k}k)=\frac{6}{{\pi }^2}\frac{1}{k^2},k\ge 1.$$Llavors$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|(-1{)}^{k}k|\frac{6}{{\pi }^2}\frac{1}{k^2}=\frac{6}{{\pi }^2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}=\mathrm{\infty }.$$Per tant, l'esperança de $X$ no existix.

Variables aleatòries absolutament contínues

Sigui $X$ una variable aleatòria en funció de densitat $f$. Llavors l'esperança de $X$ es calcula per $$E(X)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx,$$

sempre que la integral anterior sigui absolutament convergent: $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|x|f(x)dx<\mathrm{\infty }.$

Eixemples.

1. Variable normal estàndard. Sigui $X$ una variable aleatòria normal en $\mu =0$ i $\sigma =1$, en funció de densitat $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2},x\in ℝ.$$Llavors,$$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|x|e^{-x^2/2}dx=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{e}^{-x^2/2}dx=2.$$

Llavors l'esperança de $X$ existix i val: $$E(X)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{e}^{-x^2/2}dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}x{e}^{-x^2/2}dx+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{e}^{-x^2/2}dx=-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{e}^{-x^2/2}dx+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{e}^{-x^2/2}dx=0.$$

2. Considerem una variable aleatòria $X$ en distribució de Cauchy estàndard, en funció de densitat $$f(x)=\frac{1}{\pi }\frac{1}{1+x^2},x\in ℝ.$$Llavors $$\frac{1}{\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|x|\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{1+x^2}dx=\mathrm{\infty }.$$Per tant, l'esperança de $X$ no existix.

Esperança d'una funció d'una variable aleatòria

Sigui $X$ una variable aleatòria. Ens ocuparem ara de calcular l'esperança d'una funció d'esta variable: $Y=g(X)$ (vegeu mes avall, a la definició general d'esperança matemàtica, les condicions sobre la funció $g$). Si $X$ és discreta, també ho serà $Y$ i, d'acort en les fórmules anteriors, per calcular $E(Y)$ hauríem de buscar primer la funció de probabilitat de $Y$; la següent fórmula ens permet calcular l'esperança directament: en les notacions anteriors,$$\mathrm{E}(g(X))=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}g(x_i)p_i,$$
sempre que $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|g(x_i)|p_i<\mathrm{\infty }$. Si la variable pren només un nombre finit de valors, llavors la suma és finita i sempre existix l'esperança de $g(X)$.

Eixemple. Considerem el cas dellançament del dau i la funció $g(x)=x^2.$ Llavors $$E(X^2)=1^2\frac{1}{6}+\cdots +6^2\frac{1}{6}=15,17.$$Ara podem calcular la variància de $X$: $$\text{Variància}(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2=15,17-3.5^2=2,67.$$

Anàlogament, en el cas absolutament continu, per calcular $E(g(X))$ hauríem de buscar primer la densitat de $Y=g(X)$, pero ens ho podem estalviar gràcies a la següent fórmula: $$\mathrm{E}(g(X))=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)f(x)\mathrm{d}x,$$sempre que $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|g(x)|f(x)\mathrm{d}x<\mathrm{\infty }.$

Eixemple. Sigui $X$ una variable normal estàndard, i considerem com abans la funció $g(x)=x^2.$ Llavors, integrant per parts,$$E(X^2)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{2}f(x)dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2{e}^{-x^2/2}dx=1.$$Com que $\left|x^2\right|=x^2$, la mateixa integral servix per comprovar que l'esperança de $X^2$ existix i per al càlcul d'esta esperança. A partir d'aquí, la variància de $X$ és $$\text{Variància}(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2=1-0=1.$$

Jocs justos i esperança matemàtica

Si $X$ representa el benefici d'un jugador que aposta en un joc d'atzar, es diu que el joc és just si $E(X)=0$, és a dir, despuix d'estar jugant moltes partides, no ha guanyat ni perdut res: només ha passat l'estona. Tots els jocs d'atzar dels casinos, les loteries, etc, són jocs injustos (ningú posa un casino per filantropia): un jugador pot tindre sort en algunes jugades i guanyar, pero si insisteix i va jugant, a la llarga, com que s'aplica la llei dels grans nombres i el teorema central delímit, el jugador acaba perdent. Per eixemple, la ruleta americana té 38 caselles equiprobables, numerades de l'1 al 36, una casella en el 0 i una atra en el doble 0. Si la bola va a parar a les caselles del 0 o del doble 0, el jugador perd tota l'aposta. El guany per encertar una aposta a un sol número (de l'1 al 36) paga de 35 a 1 (és a dir, cobrem 35 vegades el que hem apostat i recuperem l'aposta, de manera que rebem 36 vegades el que hem apostat). Per tant, considerant els 38 possibles resultats, l'esperança matemàtica del benefici per apostar a un sol número és:

$$(-1\times \frac{37}{38})+(35\times \frac{1}{38})\approx -0,0526.$$

Per tant, un espera, en mijana, perdre uns 5 cèntims per cada euro que aposta; d'una atra manera, el valor esperat per apostar 1 euro són 0,9474 euros.

Esperança i independència

Si $X$ i $Y$ són dues variables aleatòries independents (totes dos en esperança), llavors, $$E(XY)=E(X)E(Y).$$Llavors, la variància de la suma o la resta de $X$ i $Y$ es simplifica: $$\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X-Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y).$$Mes generalment, si $X_1,\dots ,X_n$ són variables aleatòries independents (totes en esperança), llavors $$E(X_1\cdots X_n)=E(X_1)\cdots E(X_n).$$La fórmula de la variància de la suma de les variables també es simplifica: $$\text{Var}\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^n\text{Var}(X_i).$$

Esperança condicionada

Esperança condicionada per variables aleatòries discretes

Comencem estudiant un eixemple:

Eixemple. Traiem una paraula a l'atzar de la frase:

ÉS MASSA BO PER SER CERT

Considerem les següents variables aleatòries:

• $X$ és el nombre de lletres que té la paraula que traiem.
• $Y$ és el nombre de vegades que la paraula té la lletra E . La funció de probabilitat del vector $(X,Y)$ ve donada a la taula següent (recordeu que l'expressió treure a l'atzar vol dir que s'utilisa una probabilitat uniforme, en este cas, que totes les paraules tenen probabilitat 1/6):
  

$\begin{array}{cccc}& & & 𝑿\\ & & 2& 3& 4& 5\\ & 0& 1/6& 0& 0& 1/6\\ 𝒀\\ & 1& 1/6& 1/3& 1/6& 0\end{array}$

A partir d'esta taula, sumant per files o columnes, o be directament calculant les probabilitats, es dedueixen les funcions de probabilitat de les variables $X$ i $Y$:

$$\begin{array}{ccccc}i& 2& 3& 4& 5\\ P(X=i)& 1/3& 1/3& 1/6& 1/6\end{array}\begin{array}{ccc}j& 0& 1\\ P(Y=j)& 1/3& 2/3\end{array}$$

Les probabilitats condicionades es calculen per la fórmula

$P(X=i|Y=j)=\frac{P(X=i,Y=j)}{P(Y=j)}.$

Llavors tenim les següents taules:

$$\begin{array}{ccccc}i& 2& 3& 4& 5\\ P(X=i|Y=0)& 1/2& 0& 0& 1/2\end{array}\begin{array}{ccccc}i& 2& 3& 4& 5\\ P(X=i|Y=1)& 1/4& 1/2& 1/4& 0\end{array}$$

Ara podem calcular l'esperança de $X$ condicionada per $Y$, on cal distingir dos casos, segons els valors de $Y$:

$E(X|Y=0)=2\frac{1}{2}+3\cdot 0+4\cdot 0+5\frac{1}{2}=3,5.$

Esta és la mijana de les paraules que no tenen cap E. Anàlogament és calcula $E(X|Y=1)=3,$ que és la mijana de les paraules que tenen una E. Estes dues expressions les podem resumir en

$E(X|Y)=\{\begin{array}{cc}3,5,& \text{quan }Y=0,\\ 3,& \text{quan }Y=1.\end{array}$

Veiem així que $E(X|Y)$ és una nova variable aleatòria que és funció de la variable $Y$.

Cas discret general

Donades dues variables aleatòries discretes, $X$ que pot prendre els valors $x_1,x_2,\dots ,$ i que té esperança, i $Y$ que pot prendre els valors $y_1,y_2,\dots$ (suposem que $P(Y=y_j)>0,j=1,2,\dots$) definim l'esperança de $X$condicionada per $Y=y_j$

$$\mathrm{E}(X|Y=y_j)=\sum _i{x}_i\cdot \mathrm{P}(X=x_i|Y=y_j).$$

on $\mathrm{P}(X=x_i|Y=y_j).$ és la probabilitat de l'aconteiximent $X=x_i$ condicionada a $Y=y_j$: $P(X=x_i|Y=y_j)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}.$

Podem resumir tots els casos de les esperances condicionades als diferents $y_j$en una nova variable aleatòria designada per $E(X|Y)$ i nomenada esperança de $X$ condicionada per $Y$:$$E(X|Y)(\omega )=\{\begin{array}{cc}E(X|Y=y_1)& \text{si}Y(\omega )=y_1,\\ E(X|Y=y_2)& \text{si}Y(\omega )=y_2,\\ ⋮\end{array}$$

Tenim que

$\sum _j\mathrm{E}(X|Y=y_j)\cdot \mathrm{P}(Y=y_j)$$=\sum _j(\sum _i{x}_i\cdot \mathrm{P}(X=x_i|Y=y_j))\cdot \mathrm{P}(Y=y_j)$$=\sum _j\sum _i{x}_i\cdot \mathrm{P}(X=x_i|Y=y_j)\cdot \mathrm{P}(Y=y_j)$$=\sum _j\sum _i{x}_i\cdot \mathrm{P}(Y=y_j|X=x_i)\cdot \mathrm{P}(X=x_i)$

$=\sum _i{x}_i\cdot \mathrm{P}(X=x_i)\cdot (\sum _j\mathrm{P}(Y=y_j|X=x_i))$$=\sum _i{x}_i\cdot \mathrm{P}(X=x_i)$$=\mathrm{E}(X),$

on hem utilisat que del fet que $X$ té esperança es dedueix que la sèrie doble que apareix és absolutament convergent i, per tant, es poden commutar els sumatoris, i que $$\sum _{j}P(Y=y_j|X=x_i)=P(Y\in ℝ|X=x_i)=1.$$

Així, tenim $$\mathrm{E}(X)=\sum _j\mathrm{E}(X|Y=y_j)\cdot \mathrm{P}(Y=y_j),$$que s'nomena fórmula de l'esperança total.

Equivalentment podem escriure

$$\mathrm{E}(X)=\mathrm{E}(\mathrm{E}(X|Y)).$$La part dreta de l'equació s'nomena esperança iterada.

Comentari. L'esperança condicionada ens dona el valor de l'esperança de $X$ segons els valors de $Y$. En Estadística, l'esperança condicionada correspon a la idea de calcular la mijana d'una població per estrats; per eixemple, si estem analisant les alçades d'una població que tenim dividida en homes i dones (els estrats), podem calcular la mijana per als homes i per a les dones. Si calculem la mijana de les mijanes, ponderades segons l'importància dels estrats, obtindrem la mijana de tota la població, que és el que diu la fórmula de l'esperança total.

Esperança condicionada per a variables absolutament contínues

Sigui $(X,Y)$ un vector aleatori absolutament continu, en funció de densitat conjunta $f_{(X,Y)}(x,y)$, i $Y$ en funció de densitat $f_Y(y)$ (densitat marginal). Per a $y$ tal que $f_Y(y)>0$ es defineix la funció de densitat de $X$ condicionada per $Y=y$

$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f_{(X,Y)}(x,y)}{f_Y(y)}.$

Quan $y$ és tal que $f_Y(y)=0$, llavors es pot prendre com a $f_{X|Y}(x|y)$ qualsívol funció de densitat, ya que no té transcendència en cap càlcul; a la pràctica, normalment no es concreta esta densitat. Si suposem que la variable $X$ té esperança, llavors l'esperança de $X$ condicionada per $Y=y$ és

$E(X|Y=y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{f}_{X|Y}(x|y)dx.$

Com que hem integrat respecte $x$, l'expressió $E(X|Y=y)$ queda una funció de $y$: posem

$E(X|Y=y)=h(y),$

i, tal com fèiem en el cas discret, podem definir una nova variable aleatòria

$E(X|Y)(\omega )=h(Y(\omega )).$

La variable $E(X|Y)$ s'nomena esperança de $X$ condicionada per $Y$.

Figura 2. La funció de densitat conjunta val 2 sobre el triangle T i zero fora.

Eixemple. Sigui $(X,Y)$ un vector aleatori bidimensional en distribució uniforme en el triangle $𝒯$ de vèrtexs els punts (0,0), (1,0) i (1,1). La funció de densitat conjunta (vegeu la Figura 2) és

$$f_{(X,Y)}(x,y)=\{\begin{array}{cc}2,& \text{si}(x,y)\in 𝒯,\\ 0,& \text{en cas contrari.}\end{array}$$

La funció de densitat de $Y$ es calcula per la fórmula:

$f_Y(y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_{(X,Y)}(x,y)dx$

Ara cal distingir dos casos:

1. Fixada $y\notin (0,1)$, llavors $f_{(X,Y)}(x,y)=0,\mathrm{\forall }x$. És evident que $f_Y(y)=0.$

2. Fixada $y\in (0,1)$,

$f_{(X,Y)}(x,y)=\{\begin{array}{cc}2,& \text{si}x\in (y,1),\\ 0,& \text{en cas contrari.}\end{array}$

Llavors

$f_Y(y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_{(X,Y})(x,y)dx=\underset{y}{\overset{1}{\int }}2dx=2(1-y).$

Ajuntant tots dos casos tenim

$f_Y(y)=\{\begin{array}{cc}2(1-y),& \text{si}y\in (0,1),\\ 0,& \text{en cas contrari.}\end{array}$

Ara ya podem calcular la densitat condicionada

$f_{X|Y}(x|y)$

. Tal com hem comentat, només la calcularem per a

$y\in (0,1)$

$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f_{(X,Y)}(x,y)}{f_Y(y)}=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{1-y},& \text{quan}x\in (y,1),\\ 0,& \text{en cas contrari}.\end{array}$

Figura 3. Funció de densitat condicionada

Vegeu la Figura 3. Noteu que els papers de $x$ i de $y$ són completament diferents. Fixada la $y\in (0,1)$ tenim una funció de densitat en $x$. De fet, en este cas, es tracta de la densitat d'una distribució uniforme en l'interval $(y,1).$

Ara ya podem calcular l'esperança condicionada de $X$ condicionada per $Y=y$, que només es calcula per $y\in (0,1)$, que són els valors de $Y$ que poden eixir:

$$E(X|Y=y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{f}_{X|Y}(x|y)dx=\underset{y}{\overset{1}{\int }}x\frac{1}{1-y}dx=\frac{1}{2}(1+y).$$Tal com comentàvem, esta és una funció de $y$: $E(X|Y=y)=\frac{1}{2}(1+y)=h(y).$ Llavors, $$E(X|Y)=\frac{1}{2}(1+Y).$$

Formula de l'esperança total en el cas absolutament continu. $$E(X)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}E[X|Y=y]f_Y(y)dy.$$

Definició general d'esperança

En general, si $X$ és una variable aleatòria definida en un espai de probabilitat $(\Omega ,𝒜,P)$ i integrable respecte a la mesura de probabilitat P, llavors l'esperança matemàtica de $X$ (denotada $\mathrm{E}(X)$ o de vegades $⟨X⟩$ o $𝔼(X)$) es defineix com a

$$\mathrm{E}(X)=\underset{\Omega }{\int }X\mathrm{d}P$$

on la integral és una integral de Lebesgue respecte a la mesura de probabilitat P. La condició que l'esperança de $X$ existeixi és que $E(|X|))<\mathrm{\infty }$. Designem per $P_X$la llei o distribució de la variable aleatòria $X$, és a dir, la probabilitat, sobre l'espai mesurable $(ℝ,ℬ)$, on $ℬ$ és la $\sigma$-àlgebra de Borel sobre el conjunt dels nombre reals, definida de la següent manera: per qualsívol $B\in ℬ$,

$P_X(B)=P(X\in B).$

Llavors,

$$\mathrm{E}(X)=\underset{\Omega }{\int }X\mathrm{d}P=\underset{ℝ}{\int }x\mathrm{d}{P}_X(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\mathrm{d}{F}_X(x)(2)$$

on, a la darrera integral és una integral de Lebesgue-Stieljes respecte la funció de distribució de $X$: $$F(x)=P(X\le x)=P_X((-\mathrm{\infty },x]).$$

Les fórmules que hem vist a la secció del càlcul de l'esperança s'obtenen d'aplicar l'igualtat (2) als casos discret i absolutament continus. Si $g:ℝ\to ℝ$ és una funció mesurable respecte la $\sigma$ -àlgebra de Borel, tal que $g(X)$ té esperança, és a dir, $E\left(\right|g(X)\left|\right)<\mathrm{\infty }$, llavors

$$\mathrm{E}(g(X))=\underset{\Omega }{\int }g(X)dP=\underset{ℝ}{\int }g(x)d{P}_X(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)d{F}_X(x),$$

d'on ixen les fórmules del cas discret i absolutament continu que hem vist més amunt.

Observacions:

1. La funció $g$ no cal que estigui definida a tot $ℝ$, sinó només al conjunt on pren valors la variable $X$. Per eixemple, si $X$ és discreta, $g$ ha d'estar definida en el conjunt $\{x_1,x_2,\dots \}$ dels punts tals que $P(X=x_i)>0$. O si $X$ és una variable no negativa, llavors $g$ n'hi ha prou que estigui definida a $[0,\mathrm{\infty })$.
2. Tota funció contínua és Borel mesurable.

Propietats

Constants

El valor esperat d'una constant és igual a la mateixa constant, és a dir, si c és una constant, E(c) = c

Monotonia

Si X i Y són variables aleatòries en esperança, tals que $X\le Y$ q. s., llavors $\mathrm{E}(X)\le \mathrm{E}(Y)$. D'aquí es dedueix, tenint en conte que $X\le |X|$ i que $-X\le |X|$, que

$$|\mathrm{E}(X)|\le \mathrm{E}(|X|)$$

Linealitat

L'esperança matemàtica $\mathrm{E}$ és un operador lineal:

$\mathrm{E}(X+c)=\mathrm{E}(X)+c$

$\mathrm{E}(X+Y)=\mathrm{E}(X)+\mathrm{E}(Y)$

$\mathrm{E}(aX)=a\mathrm{E}(X)$

Combinant els resultats de les tres equacions prèvies, veiem que:

$\mathrm{E}(aX+b)=a\mathrm{E}(X)+b$

$\mathrm{E}(aX+bY)=a\mathrm{E}(X)+b\mathrm{E}(Y)$

per dues variables aleatòries $X$ i $Y$ qualsívol en esperança finita i nombres reals $a$ i $b$ qualssevol.