Teorema de De Moivre-Laplace

La teorema es pot visualisar en la plancha de Galton.

En teoria de la provabilitat, la teorema de De Moivre-Laplace, que és un cas particular del teorema del llímit central, enuncia que la distribució normal pot ser usada com una aproximació de la distribució binomial baixe certes condicions. En particular, la teorema mostra que funció de massa de provabilitat del número aleatori de “èxits” en una série de $n$ ensajos de Bernoulli independents, cada u en provabilitat d'èxit $p$ (una distribució binomial en $n$ intents), convergix a la funció de densitat de provabilitat de la distribució normal en mija $np$ i desviació estàndar $\sqrt{np(1-p)}$, si $n$ és suficientment gran i assumint que $p$ no és $1$ o $0$.

La teorema va aparéixer per primera volta en la segona edició de The Doctrine of Chances, d'Abraham de Moivre, publicat en 1738. Els "ensajos de Bernoulli" no es varen cridar aixina en eixe llibre, pero De Moivre va escriure lo suficient sobre la distribució de provabilitat del número de voltes que apareixia "cara" quan es llançava una moneda 3600 voltes.^{cita requerida}

Teorema

Si $n\to \mathrm{\infty }$, llavors per a k en l'entorn $np$ es pot aproximar

$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)p^k{q}^{n-k}\simeq \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}{e}^{-(k-np{)}^2/2npq},p+q=1,p>0,q>0.$

En forma de llímit la teorema establix que:

$\frac{\sqrt{2\pi npq}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)p^k{q}^{n-k}}{e^{-(k-np{)}^2/2npq}}\to 1$ quan $n\to \mathrm{\infty }.$

Vore també

• Teorema central del llímit
• Distribució normal
• Distribució binomial
• Distribució Bernoulli