Funció de densitat de provabilitat

En la teoria de la provabilitat, la funció de densitat de provabilitat, funció de densitat, o simplement densitat d'una variable aleatòria contínua descriu la provabilitat relativa segons la qual dita variable aleatòria prendrà determinat valor.
La provabilitat de que la variable aleatòria caiga en una regió específica de l'espai de possibilitats estarà donada per l'integral de la densitat d'esta variable entre un i un atre llímit de dita regió.
La funció de densitat de provabilitat (FDP) és positiva a lo llarc de tot el seu domini i el seu integral sobretot l'espai és de valor unitari. En un sentit més precís, la FDP s'utilisa per a especificar la provabilitat de que la variable aleatòria caiga dins d'un ranc de valors determinat, en lloc de prendre un valor qualsevol. Esta provabilitat ve donada per l'integral de la FDP d'esta variable sobre eixe ranc, és dir, ve donada per l'àrea baix la funció de densitat pero per damunt de l'eix horisontal i entre els valors més baixos i més alts del ranc. La funció de densitat de provabilitat és no negativa en tots els llocs, i l'àrea baix la curva completa és igual a 1. Els térmens funció de distribució de provabilitat^[1] i funció de provabilitat^[2] també s'han utilisat a voltes per a denotar la funció de densitat de provabilitat. No obstant, este us no és estàndar entre provabilistes i estadístics. En atres fonts, "funció de distribució de provabilitat" pot utilisar-se quan la distribució de provabilitat es definix com una funció sobre conjunts generals de valors o pot referir-se a la funció de distribució acumulativa, o pot ser una funció de massa de provabilitat (PMF) en lloc de la densitat. "Funció de densitat" en sí també s'utilisa per a la funció de massa de provabilitat, lo que du a una major confusió.^[3] En general, no obstant, la PMF s'utilisa en el context de variables aleatòries discretes (variables aleatòries que prenen valors en un conjunt contable), mentres que la PDF s'utilisa en el context de variables aleatòries contínues.

Definició

Una funció de densitat de provabilitat caracterisa el comportament provable d'una població en tant especifica la possibilitat relativa de que una variable aleatòria contínua ___* $X$ tome un valor cercano a $x$ . Una variable aleatoria $X$ tiene función de densidad $f_{X}$ , siendo $f_{X}$ una función no-negativa integrable de Lebesgue, si:

P [a \leq X \leq b] = \int_{a}^{b} f_{X} (x) d x

si $F_{X}$ es la función de distribución de $X$ , entonces

F_{X} (x) = \int_{- \infty}^{x} f_{X} (u) d u

y (si $f_{X}$ es continua en $x$ )

f_{X} (x) = \frac{d}{d x} F_{X} (x)

Intuitivamente, puede considerarse $f_{X} (x) d x$ como la probabilidad de $X$ de caer en l'intervalo infinitesimal $[x, x + d x]$ .

Definició formal

La definició formal de la funció de densitat requerix de conceptes de la teoria de la mida. Una variable aleatòria contínua ___* $X$ con valores en un espacio medible $(𝒳, 𝒜)$ (habitualmente $ℝ^{n}$ con els conjuntos Borel como subconjuntos medibles), tiene como distribución de probabilidad la medida X_∗P en $(𝒳, 𝒜)$ : la densidad de $X$ en respecte a la medida de referencia $μ$ sobre $(𝒳, 𝒜)$ es la derivada de Radon–Nikodym.

f = \frac{d X_{P}}{d μ} .

esto es, $f$ es una función medible con la siguiente propiedad:

P [X \in A] = \int_{X^{- 1} A} d P = \int_{A} f d μ

per a todo conjunto medible $A \in 𝒜$ .

Discussió

En el cas univariante continu anterior, la mida de referència és la mida de Lebesgue. la funció de massa de provabilitat d'una variable aleatòria discreta és la densitat sobre la mida de reconte sobre l'espai mostral (normalment el conjunt de sancers, o algun subconjunt del mateix). No és possible definir una densitat en referència a una mida arbitrària (per eixemple, no es pot elegir la mida de reconte com a referència per a una variable aleatòria contínua). Ademés, quan existix, la densitat és casi única, lo que significa que dos densitat qualssevol coincidixen casi en tots els llocs.

Propietats

De les propietats de la funció de densitat se seguixen les següents propietats de la fdp (a voltes vist com pdf de l'anglés):

___* $f_{X} (x) \geq 0$ per a toda $x$ .
El área total encerrada baix la curva es igual a 1:

\int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) d x = 1

La probabilidad de que $X$ tome un valor en el intervalo $[a, b]$ es el área baix la curva de la función de densidad en ese intervalo o lo que es lo misme, la integral definida en dicho intervalo. La gráfica f(x) se conoce a veces como curva de densidad.

P [a \leq X \leq b] = \int_{a}^{b} f_{X} (x) d x = F (b) - F (a)

Algunas FDP están declarades en rangos de $- \infty$ a $+ \infty$ , com la de la distribució normal.

Més detalls

A diferència d'una provabilitat, una funció de densitat de provabilitat pot prendre valors majors que un; per eixemple, la distribució uniforme en l'interval [0, 1/2] té densitat de provabilitat f(x) = 2 per a 0 ≤ x ≤ 1/2 i f(x) = 0 en el restant. la distribució normal estàndar té densitat de provabilitat

___* $f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2} .$

Si una variable aleatoria $X$ está dada y su distribución admite una función de densidad de probabilidad $f$ , entonces el valor esperado de $X$ (si el valor esperado existe) puede calcularse como

$E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x .$

No todas les distribuciones de probabilidad tienen función de densidad: les distribuciones de variables aleatorias discretas no la tienen; tampoco la distribución de Cantor, aunque no tiene componente discreta, es decir, no asigna probabilidad positiva a ningún punto individual. Una distribución tiene una función de densidad si y sólo si su función de distribución acumulativa $F (x)$ es absolutamente continua. En este caso: $F$ es en casi todas partes diferenciable, y su derivada puede usarse como densidad de probabilidad:

$\frac{d}{d x} F (x) = f (x) .$

Si una distribución de probabilidad admite una densidad, entonces la probabilidad de todo conjunto unipunto ${a}$ es cero; lo misme vale per a conjuntos finitos y contables. Dos densidades de probabilidad $f$ y $g$ representan la misma distribución de probabilidad precisamente si difieren sólo en un conjunto de Lebesgue medida cero. En el campo de la física estadística, una reformulación no formal de la relació anterior entre la derivada de la función de distribución acumulativa y la función de densidad de probabilidad se utiliza generalmente como definición de la función de densidad de probabilidad. Esta definición alternativa es la siguiente:

Si $dt$ es un número infinitamente pequeño, la probabilidad de que $X$ esté incluido dentro de l'intervalo (t, t + dt) es igual a $f (t) dt$ , o: $\Pr (t < X < t + d t) = f (t) d t .$

Distribucions univariantes absolutament contínues

Una funció de densitat de provabilitat s'associa més comunament en distribucions univariantes absolutament contínues. Una variable aleatòria ___* $X$ tiene densidad $f_{X}$ , donde $f_{X}$ es una función integrable de Lebesgue no negativa, si:

$\Pr [a \leq X \leq b] = \int_{a}^{b} f_{X} (x) d x .$

Por tanto, si $F_{X}$ es la función de distribución acumulativa de $X$ , entonces: $F_{X} (x) = \int_{- \infty}^{x} f_{X} (u) d u,$ y (si $f_{X}$ es continua en $x$ ) $f_{X} (x) = \frac{d}{d x} F_{X} (x) .$

Intuitivamente, se puede pensar en $f_{X} (x) d x$ como la probabilidad de que $X$ caiga dentro del intervalo infinitesimal $[x + d x]$ . $[x, x + d x]$ .

Densitat associades en múltiples variables

per a variables aleatòries contínues ___* $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ es posible definir una función de probabilidad de densidad, esta es llamada función de densidad conjunta. La función de densidad conjunta está definida como una función de $n$ variables, tal que per a cualquier dominio $D$ en el espacio $n$ -dimensional dels valores de les variables $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ , la probabilidad d'ocurrencia d'un conjunto de variables se encuentre dentro de $D$ es

P [X_{1}, \dots, X_{n} \in D] = \int \dots \int_{D} f_{X_{1}, \dots, X_{n}} (x_{1}, \dots, x_{n}) d x_{1} \dots d x_{n}

Si $F (x_{1}, \dots, x_{n}) = P [X_{1} \leq x_{1}, \dots, X_{n} \leq x_{n}]$ es la función de distribución del vector $(X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})$ entonces la función de densidad conjunta puede obtenerse como una derivada parcial

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = \frac{\partial F}{\partial x_{1} \dots \partial x_{n}}

Densitat marginal

Per a ___* $i = 1, \dots, n$ sea $f_{X_{i}} (x_{i})$ la función de densidad asociada con la variable $X_{i}$ , esta función es llamada función de densidad marginal y puede ser obtenida a partir de la función de densidad conjunta asociada con les variables $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ como

f_{X_{i}} (x_{i}) = \underset{n - 1}{\underset{⏟}{\int \dots \int}} f_{X_{1}, \dots, X_{n}} (x_{1}, \dots, x_{n}) d x_{1} \dots d x_{i - 1} d x_{i + 1} \dots d x_{n}

Relació entre distribucions discretes i contínues

És possible representar certes variables aleatòries discretes, aixina com variables aleatòries que impliquen tant una part contínua com una discreta, en una Funció generalisada funció de densitat de provabilitat utilisant la Funció delta de Dirac. (Açò no és possible en una funció de densitat de provabilitat en el sentit definit anteriorment, pot fer-se en una distribució.) Per eixemple, considerem una variable aleatòria discreta binaria que té la distribució de Rademacher-és dir, que pren -1 o 1 per valors, en provabilitat Plantilla:1/2 cada u. La densitat de provabilitat associada a esta variable és: ___* $f (t) = \frac{1}{2} (δ (t + 1) + δ (t - 1)) .$

De forma más general, si una variable discreta puede tomar $n$ valores distintos entre números reals, entonces la función de densidad de probabilidad asociada es:

$f (t) = \sum_{i = 1}^{n} p_{i} δ (t - x_{i}),$

donde $x_{1}, \dots, x_{n}$ són els valores discretos accesibles a la variable y $p_{1}, \dots, p_{n}$ són les provabilitats associades a estos valors. Açò unifica substancialment el tractament de les distribucions de provabilitat discretes i contínues. L'expressió anterior permet determinar característiques estadístiques de dita variable discreta (com la mija, la varianza i la curtosis), partint de les fòrmules donades per a una distribució contínua de la provabilitat.

Suma de variables aleatòries independents

La funció de densitat de la suma de dos variables aleatòries independents ___* $U$ y $V$ , cada una d'ellas con función de densidad, es la convolución de sus funciones de densidades:

f_{U + V} (x) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{U} (y) f_{V} (x - y) d y = (f_{U} f_{V}) (x)

Es posible generalizar el resultado anterior a la suma de $N$ variables aleatorias independientes con densidades $U_{1}, \dots, U_{N}$

Erro al representar (funció desconeguda «\cdotsf»): {\displaystyle f_{U_1+\cdots+U_N}(x)=(f_{U_1}*\cdotsf_{U_N})(x)}

Famílies de densitat

És habitual que les funcions de densitat de provabilitat (i les funciones de massa de provabilitat) estiguen parametrizades, és dir, que es caracterisen per paràmetros no especificats. Per eixemple, la distribució normal es parametriza en térmens de la mija i la varianza, denotades per ___* $μ$ y $σ^{2}$ respectivamente, dando la familia de densidades

$f (x; μ, σ^{2}) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}} .$

Diferents valors dels paràmetros descriuen diferents distribucions de diferents variables aleatòries en el mateix espai mostral (el mateix conjunt de tots els valors possibles de la variable); este espai mostral és el domini de la família de variables aleatòries que esta família de distribucions descriu. Un conjunt donat de paràmetros descriu una única distribució dins de la família que compartix la forma funcional de la densitat. Des de la perspectiva d'una distribució donada, els paràmetros són constants, i els térmens en una funció de densitat que contenen només paràmetros, pero no variables, són part del factor de normalisació d'una distribució (el factor multiplicatiu que assegura que l'àrea baix la densitat -la provabilitat de que ocórrega alguna cosa en el domini- és igual a 1). Este factor de normalisació està fòra del núcleu de la distribució. ya que els paràmetros són constants, re-parametrizar una densitat en térmens de paràmetros diferents per a donar una caracterisació d'una variable aleatòria diferent en la família, significa simplement substituir els nous valors dels paràmetros en la fòrmula en lloc dels antics.

Eixemple

Supongam que les bactèries d'una determinada espècie viuen normalment de 4 a 6 hores. La provabilitat de que una bactèria viva exactament 5 hores és igual a zero. Moltes bactèries viuen aproximadament 5 hores, pero no hi ha cap provabilitat de que una determinada bactèria muiga exactament a les 5,00... hores. No obstant, la provabilitat de que la bactèria muiga entre 5 hores i 5,01 hores és quantificable. Supongam que la resposta és 0,02 (és dir, el 2 %). Llavors, la provabilitat de que la bactèria muiga entre les 5 hores i les 5,001 hores deu ser d'aproximadament 0,002, ya que este interval de temps és una dècima part de l'anterior. La provabilitat de que la bactèria muiga entre 5 hores i 5,0001 hores deuria ser d'aproximadament 0,0002, i aixina successivament. En este eixemple, la relació (provabilitat de morir durant un interval) / (duració de l'interval) és aproximadament constant, i igual a 2 per hora (o 2 hora^-1). Per eixemple, hi ha una provabilitat de 0,02 de morir en l'interval de 0,01 hores entre 5 i 5,01 hores, i (provabilitat de 0,02 / 0,01 hores) = 2 hora^-1. Esta cantitat 2 hora^-1 es denomina densitat de provabilitat de morir entorn a les 5 hores. Per tant, la provabilitat de que la bactèria muiga a les 5 hores pot escriure's com (2 hora^-¹) dt. Esta és la provabilitat de que la bactèria muiga dins d'una finestra de temps infinitesimal entorn a les 5 hores, a on dt és la duració d'esta finestra. Per eixemple, la provabilitat de que vixca més de 5 hores, pero menys de (5 hores + 1 nanosegundo), és (2 hores-1) × (1 nanosegundo) ≈ 6 × 10 - 13 (utilisant la conversió d'unitats 3,6 × 1012 nanosegundos = 1 hora). Existix una funció de densitat de provabilitat f en f(5 hores) = 2 hores^-1. l'integral de f sobre qualsevol finestra de temps (no només finestres infinitesimals sino també finestres grans) és la provabilitat de que la bactèria muiga en eixa finestra.

Funció de densitat de provabilitat per a la distribució normal.

Referències

↑ org/? method=png&from=objects&id=2884&op=getobj Probability distribution functionPlanetMath [1] archivat en Wayback Machine.
↑ wolfram. com/ProbabilityFunction. html Probability Function [2] archivat en Wayback Machine. en MathWorld
↑ Ord, J. K. (1972) Families of Frequency Distributions, Griffin. ISBN 0-85264-137-0 (per eixemple, Taula 5.1 i Eixemple 5.4)

Enllaços externs

com/mestadisticos/T3VAleatorias/node2. php Simulació de l'obtenció de la provabilitat en un interval a partir de la funció de densitat d'una variable contínua en R (llenguage de programació)
{{{1}}} en Springer

Vore també

Bibliografia adicional

(2002) Statistical Inference, Second edició (en anglés), Thomson Learning, pp. org/details/statisticalinfer02edcase_q4n0/page/n6534–37. ISBN 0-534-24312-6.
Els capítuls 7 al 9 són sobre varaibles contínues.

Este artícul conté una traducció derivada de «Función de densidad de probabilidad» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] rg/? method=png&from=objects&id=2884&op=getobj Probability distribution functionPlanetMath [1] archivat en Wayback Machine.

[2] wolfram. com/ProbabilityFunction. html Probability Function [2] archivat en Wayback Machine. en MathWorld

[3] Ord, J. K. (1972) Families of Frequency Distributions, Griffin. ISBN 0-85264-137-0 (per eixemple, Taula 5.1 i Eixemple 5.4)

[1]

[2]

[3]