Teorema de Radon–Nikodym

En matemàtiques i particularment en teoria de la mida, la teorema de Radon–Nikodym establix condicions baix les quals es poden generar mides en signe absolutament contínues respecte a una mida donada.

La teorema està associada als noms de Johann Radon, que ho va provar en 1913 per al cas particular que l'espai subjacent és R'^N, i Otto M. Nikodym, que ho va estendre al cas general en 1930.

Formulació

Donat un espai mesurable $(X,\Sigma )$, una mida $\sigma$-finita $\mu :\Sigma \to ℝ$ i una mida en signe $\sigma$-finita $\nu :\Sigma \to ℝ$ absolutament contínua sobre $\mu$, llavors existix una funció mesurable $f$ sobre $(X,\Sigma )$ que satisfà:

$\nu (A)=\underset{A}{\int }fd\mu$, per a tot $A\in \Sigma$.

Ademés, si $g$ és una atra funció mesurable en $(X,\Sigma )$ tal que

$\nu (A)=\underset{A}{\int }gd\mu$, per a tot $A\in \Sigma$

llavors $f=g$ $\mu$-casi sempre.

Derivada de Radon–Nikodym

Donades les condicions abans mencionades, a la funció $f$ que satisfà

$\nu (A)=\underset{A}{\int }fd\mu$

per a tot $A\in \Sigma$ li la crida derivada de Radon-Nykodym de $\nu$ sobre $\mu$ i sol representar-se per mig de $f=\frac{d\nu }{d\mu }$. Dita notació reflectix el fet de que esta funció eixercita un paper anàlec al de la derivada en el càlcul.

Propietats

Les demostracions de les següents propietats es poden trobar en.

• Sean ν, μ i λ mides σ-finitas en el mateix espai mesurable. Si ν ≪ λ i μ ≪ λ (ν i μ són abdós absolutament contínues sobre λ), llavors

 $$\frac{d(\nu +\mu )}{d\lambda }=\frac{d\nu }{d\lambda }+\frac{d\mu }{d\lambda }\lambda \text{-casi en todas partes}.$$

• Si ν ≪ μ ≪ λ, llavors

 $$\frac{d\nu }{d\lambda }=\frac{d\nu }{d\mu }\frac{d\mu }{d\lambda }\lambda \text{-casi en todas partes}.$$

• En particular, si μ ≪ ν i ν ≪ μ, llavors

 $$\frac{d\mu }{d\nu }={\left(\frac{d\nu }{d\mu }\right)}^{-1}\nu \text{-casi en todas partes}.$$

• Si μ ≪ λ i g és una funció μ-integrable, llavors

 $$\underset{X}{\int }gd\mu =\underset{X}{\int }g\frac{d\mu }{d\lambda }d\lambda .$$

• Si ν és una mida en signe finita (també cridada càrrega) o una mida complexa, llavors

 $$\frac{d|\nu |}{d\mu }=\left|\frac{d\nu }{d\mu }\right|.$$

Referències

• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.