Funció de verosimilitut

En estadística, la funció de verosimilitut (o, simplement, verosimilitut) és una funció dels paràmetros d'un model estadístic que permet realisar inferència sobre el seu valor a partir d'un conjunt d'observacions.

No deu confondre's en el terme provabilitat: esta permet, a partir d'una série de paràmetros coneguts, realisar prediccions sobre els valors que pren una variable aleatòria.

Fòrmula

En cert sentit, el verosimilitut és una versió inversa de la provabilitat condicional. Conegut un paràmetro B, la provabilitat condicional de A és P(A|B), pero si es coneix A, poden realisar-se inferència sobre el valor de B gràcies al teorema de Bayes, segons el qual

$P(B\mid A)=\frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)}.$

La funció de verosimilitut, L( b |A), definida com

$L(b\mid A)=P(A\mid B=b),$

eixercita el mateix paper baix un enfocament no bayesiano. De fet, lo rellevant no és el valor en sí de L( b |A) sino la raó de verosimilitut,

$\frac{L(b_2|A)}{L(b_1|A)},$

que permet comparar quant més verosímil és el paràmetro $b_1$ que el $b_2$ a l'hora de explicar l'event A. D'ahí que en ocasions s'entenga que la funció de verosimilitut, més que una funció en sí, siga la classe de funcions

$L(b\mid A)=\alpha P(A\mid B=b),$

a on α és una constant de proporcionalitat.

La funció de verosimilitut, abundant en els raonaments anteriors, obri la via per a dos tècniques molt habituals en inferència estadística: les de la màxim verosimilitut i la del test de la raó de verosimilitut.

Eixemple

Es considera una moneda de la que es desconeix la provabilitat p de que en llançar-la ixca cara. La moneda es llança quatre voltes i s'obté la següent série: CXCC (cara-creu-cara-cara). Llavors,

$P(CXCC\mid p)=4*p^3(1-p).$

La funció de verosimilitut seria llavors

$L(p)=L(p\mid CXCC)=4*p^3(1-p),$

que nos permet intuir, per eixemple, que el valor 0,6 per a p és més verosímil que el valor 0,5 ya que

$\frac{L(0,6)}{L(0,5)}=\frac{4*0,6^3(1-0,6)}{4*0,5^3(1-0,5)}=1,3824\ge 1.$

És raonable en este cas donar per bo el valor 0.75 per a p ya que dit valor és el que maximizar el valor de la funció de verosimilitut. Este raonament és la base del método d'estimació de paràmetros per màxim verosimilitut.

Notes històriques

La noció de verosimilitut procedix del terme anglés likelihood que, des dels seus orígens va estar vinculat al concepte de provabilitat, probability, encara que denotant un víncul de causalitat més dèbil. La comparació d'hipòtesis a través de l'evaluació de verosimilitut pot trobar-se en obres tan primerenques com Areopagitica de John Milton: when greatest likelihoods llaure brought that such things llaure truly and really in those persons to whom they llaure ascribed.

No obstant, l'us més modern del terme va aparéixer en les obres de Thiele, a qui s'atribuïx l'invenció, i Peirce. La fixació del terme tal i com ho coneixem hui en dia és, no obstant, obra de R.A. Fisher, que tracta d'ell en el seu artícul On the mathematical foundations of theoretical statistics.

Vore també

• Màxim verosimilitut